Autor: admin

# Temat: Zastosowanie funkcji do rozwiązywania zadań z treścią

**Fraza kluczowa:** zadania z treścią funkcje
**Poziom:** Liceum, Klasa 1
**Dział:** Funkcje

—

## 1. Najważniejsze informacje i teoria

W życiu codziennym wiele wielkości jest od siebie zależnych – koszt przejazdu taksówką zależy od przebytej drogi, pole prostokąta zależy od długości jego boków, a zysk firmy zależy od liczby sprzedanych produktów. Do opisu takich zależności używamy **funkcji**.

Modelowanie matematyczne za pomocą funkcji polega na przełożeniu opisanego słownie problemu na język matematyki.

### Schemat rozwiązywania zadań z treścią za pomocą funkcji:
1. **Analiza treści zadania:** Uważnie przeczytaj tekst i zidentyfikuj wielkości zmienne oraz stałe.
2. **Wybór zmiennej niezależnej ($x$):** Oznacz niewiadomą, od której zależą inne wartości.
3. **Określenie dziedziny funkcji ($D$):** Zapisz ograniczenia wynikające z kontekstu zadania (np. długość boku musi być dodatnia $x > 0$, liczba osób musi być liczbą naturalną $x \in \mathbb{N}$).
4. **Zbudowanie wzoru funkcji $f(x)$:** Zapisz zależność opisaną w treści zadania za pomocą wzoru matematycznego.
5. **Rozwiązanie problemu matematycznego:** Wyznacz szukaną wartość, argument, zero funkcji lub wartość najmniejszą/największą (optymalizacja).
6. **Interpretacja wyniku i odpowiedź:** Sprawdź, czy otrzymany wynik należy do dziedziny i sformułuj odpowiedź słowną z odpowiednimi jednostkami.

—

## 2. Wzory i zasady

### Model liniowy: $f(x) = ax + b$
Stosowany, gdy zmiana wartości funkcji jest stała w stosunku do zmiany argumentu (np. opłata stała + opłata za każdy kilometr/godzinę).
* $b$ – wartość początkowa (np. opłata startowa, stały koszt).
* $a$ – współczynnik kierunkowy (tempo zmiany, np. cena za $1\text{ km}$, koszt za $1\text{ h}$).

### Model kwadratowy: $f(x) = ax^2 + bx + c$
Stosowany często w zadaniach optymalizacyjnych (np. wyznaczanie maksymalnego pola powierzchni, maksymalnego zysku).
* Jeżeli $a < 0$, funkcja osiąga **wartość największą** w wierzchołku paraboli. * Jeżeli $a > 0$, funkcja osiąga **wartość najmniejszą** w wierzchołku paraboli.
* Współrzędne wierzchołka paraboli $W = (p, q)$:
$$p = -\frac{b}{2a} \quad \text{(argument, dla którego osiągana jest wartość skrajna)}$$
$$q = -\frac{\Delta}{4a} \quad \text{lub} \quad q = f(p) \quad \text{(wartość najmniejsza lub największa)}$$
gdzie $\Delta = b^2 – 4ac$.

—

## 3. Przykłady rozwiązane krok po kroku

### Przykład 1: Model liniowy (koszt usługi)
Firma kurierska pobiera stałą opłatę za nadanie paczki w wysokości $12\text{ zł}$ oraz $2,50\text{ zł}$ za każdy kilogram jej wagi.
a) Zapisz wzór funkcji $K(x)$ określającej koszt dostarczenia paczki w zależności od jej wagi $x$ (w kg).
b) Oblicz koszt wysłania paczki o wadze $6\text{ kg}$.
c) Jaka była waga paczki, jeśli opłata wyniosła $37\text{ zł}$?

**Rozwiązanie:**

* **Krok 1 i 2:** Oznaczenie zmiennych.
Niech $x$ oznacza wagę paczki w kilogramach, a $K(x)$ – całkowity koszt w złotych.

* **Krok 3:** Dziedzina funkcji.
Waga paczki musi być liczbą dodatnią: $D = (0, +\infty)$.

* **Krok 4:** Zbudowanie wzoru.
Opłata stała wynosi $12$, a opłata zmienna to $2,5 \cdot x$.
$$K(x) = 2,5x + 12$$

* **Krok 5a (Odp. do podpunktu a):**
Wzór funkcji to $K(x) = 2,5x + 12$ dla $x \in (0, +\infty)$.

* **Krok 5b:** Obliczenie $K(6)$.
$$K(6) = 2,5 \cdot 6 + 12 = 15 + 12 = 27$$
*Odpowiedź b:* Koszt wysłania paczki o wadze $6\text{ kg}$ wynosi $27\text{ zł}$.

* **Krok 5c:** Rozwiązanie równania $K(x) = 37$.
$$2,5x + 12 = 37$$
$$2,5x = 37 – 12$$
$$2,5x = 25 \quad / : 2,5$$
$$x = 10$$
Liczba $10 \in D$.
*Odpowiedź c:* Paczka ważyła $10\text{ kg}$.

—

### Przykład 2: Model kwadratowy – optymalizacja pola
Pan Jan chce ogrodzić prostokątny wybieg dla psa. Przylega on jednym bokiem do ściany domu, więc ogrodzenie będzie zamontowane tylko na trzech pozostałych bokach. Pan Jan dysponuje siatką o długości $20\text{ m}$. Jakie wymiary powinien mieć wybieg, aby jego powierzchnia była jak największa? Oblicz tę maksymalną powierzchnię.

**Rozwiązanie:**

* **Krok 1 i 2:** Oznaczenie zmiennych i szkic.
Niech $x$ oznacza długość boków prostopadłych do ściany domu (są dwa takie boki).
Długość boku równoległego do ściany wynosi wówczas: $20 – 2x$.

* **Krok 3:** Dziedzina funkcji.
Długości boków muszą być dodatnie:
$x > 0$ oraz $20 – 2x > 0 \implies 2x < 20 \implies x < 10$. Zatem dziedzina to $D = (0, 10)$. * **Krok 4:** Zbudowanie wzoru funkcji pola $P(x)$. Pole prostokąta to iloczyn jego boków: $$P(x) = x \cdot (20 - 2x) = -2x^2 + 20x$$ * **Krok 5:** Analiza funkcji kwadratowej. Otrzymaliśmy funkcję kwadratową $P(x) = -2x^2 + 20x$, gdzie $a = -2$, $b = 20$, $c = 0$. Ponieważ $a = -2 < 0$, ramiona paraboli skierowane są w dół, a funkcja osiąga **wartość największą w wierzchołku**. Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka $p$: $$p = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-2)} = -\frac{20}{-4} = 5$$ Sprawdzamy, czy $p \in D$: $5 \in (0, 10)$ – wynik jest poprawny. Dla $x = 5\text{ m}$ drugi bok ma długość: $$20 - 2 \cdot 5 = 10\text{ m}$$ Wyznaczamy maksymalne pole (druga współrzędna wierzchołka $q$ lub wartość $P(p)$): $$P(5) = -2 \cdot 5^2 + 20 \cdot 5 = -2 \cdot 25 + 100 = -50 + 100 = 50\text{ m}^2$$ * **Krok 6:** Odpowiedź. Wybieg powinien mieć wymiary $5\text{ m} \times 10\text{ m}$. Jego maksymalna powierzchnia wyniesie wtedy $50\text{ m}^2$. --- ## 4. Zadania do samodzielnego rozwiązania ### Zadanie 1 (Model liniowy) Abonament telefoniczny kosztuje $20\text{ zł}$ miesięcznie. W cenie abonamentu nie ma darmowych minut. Każda rozpoczęta minuta połączenia kosztuje $0,15\text{ zł}$. a) Zapisz wzór funkcji $C(x)$ opisującej miesięczny rachunek za telefon w zależności od liczby przebytych minut $x$. b) Oblicz rachunek za miesiąc, w którym rozmawiano przez $140\text{ minut}$. c) Ile minut przeprowadzono, jeśli rachunek wyniósł $56\text{ zł}$? ### Zadanie 2 (Porównywanie ofert) Siłownia *FitFast* oferuje karnet w cenie $80\text{ zł}$ opłaty stałej plus $5\text{ zł}$ za każde wejście. Siłownia *PowerGym* nie pobiera opłaty stałej, ale każde wejście kosztuje $15\text{ zł}$. a) Zapisz wzory funkcji opisujących koszt korzystania z obu siłowni w zależności od liczby wejść $n$ w miesiącu. b) Przy jakiej liczbie wejść w miesiącu koszty w obu siłowniach będą identyczne? c) Którą siłownię opłaca się wybrać, jeśli planujesz trenować $10$ razy w miesiącu? ### Zadanie 3 (Model kwadratowy – optymalizacja) Suma dwóch liczb rzeczywistych wynosi $16$. Wyznacz te liczby tak, aby ich iloczyn był jak największy. Oblicz wartość tego największego iloczynu. ### Zadanie 4 (Model kwadratowy – geometria) Ogrodnik chce utworzyć prostokątną rabatę kwiatową o obwodzie $36\text{ m}$. Wyznacz wymiary tej rabaty, dla których jej powierzchnia będzie największa. --- ## 5. Odpowiedzi do zadań ### Zadanie 1 a) $C(x) = 0,15x + 20$, dla $x \in \mathbb{N} \cup \{0\}$. b) $C(140) = 0,15 \cdot 140 + 20 = 21 + 20 = 41\text{ zł}$. c) $0,15x + 20 = 56 \implies 0,15x = 36 \implies x = 240\text{ minut}$. ### Zadanie 2 a) FitFast: $F(n) = 5n + 80$; PowerGym: $P(n) = 15n$, gdzie $n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$. b) Przyrównujemy funkcje: $5n + 80 = 15n \implies 10n = 80 \implies n = 8$. Koszty będą równe przy $8$ wejściach. c) Dla $n = 10$: $F(10) = 5 \cdot 10 + 80 = 130\text{ zł}$, a $P(10) = 15 \cdot 10 = 150\text{ zł}$. Bardziej opłaca się wybrać siłownię *FitFast*. ### Zadanie 3 Niech pierwsza liczba to $x$. Wtedy druga liczba wynosi $16 - x$. Funkcja iloczynu: $f(x) = x(16 - x) = -x^2 + 16x$. Jest to funkcja kwadratowa ($a = -1$, $b = 16$). Osiąga maksimum w wierzchołku: $p = -\frac{16}{2 \cdot (-1)} = 8$. Pierwsza liczba: $8$, druga liczba: $16 - 8 = 8$. Maksymalny iloczyn wynosi: $f(8) = 8 \cdot 8 = 64$. ### Zadanie 4 Obwód $2a + 2b = 36 \implies a + b = 18 \implies b = 18 - a$. Dziedzina: $a \in (0, 18)$. Funkcja pola: $P(a) = a(18 - a) = -a^2 + 18a$. Wierzchołek paraboli: $p = -\frac{18}{2 \cdot (-1)} = 9$. Boki rabaty to $a = 9\text{ m}$ oraz $b = 18 - 9 = 9\text{ m}$ (rabata w kształcie kwadratu). --- ## 6. Najczęstsze błędy 1. **Pomięcie dziedziny zadania ($D$):** *Błąd:* Otrzymanie wyniku ujemnego (np. długość boku $x = -3$) i bezrefleksyjne podanie go w odpowiedzi. *Pamiętaj:* Zawsze określ warunki geometryczne lub fizyczne ($x > 0$, $x \in \mathbb{N}$ itp.).

2. **Mylenie argumentu ($x$) z wartością funkcji ($f(x)$):**
*Błąd:* Odpowiadanie wartością $p$ (długość boku) na pytanie o maksymalne pole ($q$) lub odwrotnie.
*Pamiętaj:* $p$ to odpowiedź na pytanie „**DLA JAKIEGO** argumentu?”, a $q$ to odpowiedź na pytanie „**ILE WYNOSI** wartość największa/najmniejsza?”.

3. **Niewłaściwy wzór na wymiary zależące od obwodu/długości:**
*Błąd:* Zapominanie, że przy ogrodzeniu wykorzystującym istniejącą ścianę, jeden z boków nie potrzebuje siatki.

4. **Brak odpowiedzi słownej:**
*Błąd:* Zakończenie zadania na wyznaczeniu $x = 5$.
*Pamiętaj:* Zadanie z treścią wymaga pełnej odpowiedzi z podaniem jednostek (np. „Maksymalna powierzchnia wynosi $50\text{ m}^2$”).

—

## 7. Szybka powtórka

* **Modelowanie:** Przełóż słowa na wzór! Stała opłata = wyraz wolny $b$, stałe tempo zmiany = współczynnik $a$.
* **Pole/Iloczyn $\to$ Funkcja kwadratowa:** Zadania o treści „wyznacz najmniejszy/największy” z reguły sprowadzają się do znalezienia **wierzchołka paraboli** ($p, q$).
* **Wzór na $p$:**
$$p = -\frac{b}{2a}$$
Gdy $a < 0$, w punkcie $p$ funkcja ma wartość **największą**. * **3 Złote Zasady:** 1. Zdefiniuj zmienną $x$. 2. Wyznacz dziedzinę. 3. Zawsze sprawdź, czy wynik ma sens fizyczny/życiowy!

# Wykres funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

—

## 1. Najważniejsze informacje i teoria

Funkcja kwadratowa jest jedną z najważniejszych funkcji badanych w szkole średniej. Jej wykresem jest parabola.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to specjalny sposób jej zapisu, z którego bez wykonywania skomplikowanych obliczeń możemy odczytać **współrzędne wierzchołka paraboli** oraz opisać przesunięcie wykresu podstawowego $y = ax^2$ w układzie współrzędnych.

Jeśli znamy wykres funkcji $y = ax^2$, to wykres funkcji w postaci kanonicznej powstaje poprzez przesunięcie go o wektor $\vec{v} = [p, q]$:
* o $p$ jednostek wzdłuż osi $OX$ (w prawo, gdy $p > 0$, lub w lewo, gdy $p < 0$), * o $q$ jednostek wzdłuż osi $OY$ (w górę, gdy $q > 0$, lub w dół, gdy $q < 0$). --- ## 2. Wzory i zasady ### Postać kanoniczna $$f(x) = a(x - p)^2 + q$$ gdzie $a \neq 0$. ### Własności odczytywane bezpośrednio z postaci kanonicznej: 1. **Wierzchołek paraboli $W$:** $$W = (p, q)$$ *Uwaga na znak przy $p$! We wzorze występuje $-p$, co oznacza, że liczba $p$ ma przeciwny znak niż ten, który widzimy w nawiasie.* 2. **Oś symetrii paraboli:** Jest to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek o równaniu: $$x = p$$ 3. **Kierunek ramion paraboli (zależy od współczynnika $a$):** * Jeśli $a > 0$ – ramiona skierowane są **w górę** $\bigcup$.
* Jeśli $a < 0$ – ramiona skierowane są **w dół** $\bigcap$. 4. **Zbiór wartości ($ZW$) i monotoniczność:** * Dla $a > 0$:
* $ZW = \langle q, +\infty)$
* Funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty, p\rangle$
* Funkcja jest rosnąca w przedziale $\langle p, +\infty)$
* Najmniejsza wartość funkcji wynosi $y_{min} = q$ dla $x = p$.
* Dla $a < 0$: * $ZW = (-\infty, q\rangle$ * Funkcja jest rosnąca w przedziale $(-\infty, p\rangle$ * Funkcja jest malejąca w przedziale $\langle p, +\infty)$ * Największa wartość funkcji wynosi $y_{max} = q$ dla $x = p$. --- ## 3. Przykłady rozwiązane krok po kroku ### Przykład 1 Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli, równanie osi symetrii oraz zbiór wartości dla funkcji podanej wzorem: $$f(x) = 2(x - 3)^2 - 4$$ **Rozwiązanie:** 1. Porównujemy wzór funkcji z postacią kanoniczną $f(x) = a(x - p)^2 + q$: * $a = 2$ * $p = 3$ (pamiętamy: $x - 3 \implies p = 3$) * $q = -4$ 2. Odczytujemy wierzchołek paraboli: $$W = (p, q) = (3, -4)$$ 3. Podajemy równanie osi symetrii: $$x = 3$$ 4. Wyznaczamy zbiór wartości: Ponieważ $a = 2 > 0$, ramiona paraboli skierowane są w górę, a najmniejsza wartość to $q = -4$.
$$ZW = \langle -4, +\infty)$$

—

### Przykład 2
Szkicujemy wykres funkcji $f(x) = -(x + 2)^2 + 1$. Opisz krok po kroku przekształcenia oraz własności funkcji.

**Rozwiązanie:**
1. Odczytujemy parametry z wzoru $f(x) = -(x – (-2))^2 + 1$:
* $a = -1$
* $p = -2$
* $q = 1$
2. Wierzchołek paraboli to $W = (-2, 1)$.
3. Przekształcenie wykresu: Wykres powstaje z przesunięcia wykresu funkcji $y = -x^2$ o wektor $\vec{v} = [-2, 1]$ (o 2 jednostki w lewo i 1 jednostkę w górę).
4. Wyznaczamy dodatkowe punkty, aby dokładniej narysować wykres:
* Dla $x = 0$ (miejsce przecięcia z osią $OY$): $f(0) = -(0 + 2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3 \implies (0, -3)$
* Z symetrii wykresu względem prostej $x = -2$, dla $x = -4$ wartość wynosi również $-3 \implies (-4, -3)$
5. Podajemy własności:
* Ramiona skierowane w dół ($a = -1 < 0$). * Funkcja jest rosnąca dla $x \in (-\infty, -2\rangle$ i malejąca dla $x \in \langle -2, +\infty)$. * $ZW = (-\infty, 1\rangle$. --- ### Przykład 3 Napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, wiedząc, że jej wierzchołkiem jest punkt $W = (1, -2)$, a wykres przechodzi przez punkt $A = (3, 6)$. **Rozwiązanie:** 1. Zapisujemy postać kanoniczną: $f(x) = a(x - p)^2 + q$. 2. Podstawiamy znane współrzędne wierzchołka $p = 1$ oraz $q = -2$: $$f(x) = a(x - 1)^2 - 2$$ 3. Aby odnaleźć współczynnik $a$, podstawiamy współrzędne punktu $A = (3, 6)$, czyli $x = 3$ oraz $f(x) = 6$: $$6 = a(3 - 1)^2 - 2$$ $$6 = a(2)^2 - 2$$ $$6 = 4a - 2$$ $$8 = 4a \implies a = 2$$ 4. Zapisujemy ostateczny wzór funkcji: $$f(x) = 2(x - 1)^2 - 2$$ --- ## 4. Zadania do samodzielnego rozwiązania **Zadanie 1.** Dla podanych funkcji kwadratowych określ współrzędne wierzchołka paraboli $W$, równanie osi symetrii oraz zbiór wartości: a) $f(x) = (x - 5)^2 + 2$ b) $f(x) = -3(x + 1)^2 - 7$ c) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3$ **Zadanie 2.** Wykres funkcji $y = 2x^2$ przesunięto o wektor $\vec{v} = [-3, 4]$. Napisz wzór nowo powstałej funkcji w postaci kanonicznej oraz określ przedziały monotoniczności. **Zadanie 3.** Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, wiedząc, że osią symetrii jej wykresu jest prosta $x = -2$, wartość największa funkcji wynosi $5$, a do wykresu należy punkt $P = (0, -3)$. --- ## 5. Odpowiedzi do zadań **Zadanie 1.** a) $W = (5, 2)$, oś symetrii: $x = 5$, $ZW = \langle 2, +\infty)$ b) $W = (-1, -7)$, oś symetrii: $x = -1$, $ZW = (-\infty, -7\rangle$ c) $W = (0, -3)$, oś symetrii: $x = 0$, $ZW = \langle -3, +\infty)$ (uwaga: $p = 0$) **Zadanie 2.** * Wzór: $f(x) = 2(x + 3)^2 + 4$ * $a = 2 > 0$, $p = -3$
* Funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty, -3\rangle$ i rosnąca w przedziale $\langle -3, +\infty)$.

**Zadanie 3.**
* Z treści zadania znamy wierzchołek: $p = -2$, a ponieważ wartość największa to $5$, to $q = 5$. Zatem $W = (-2, 5)$.
* Postać kanoniczna: $f(x) = a(x + 2)^2 + 5$.
* Podstawiamy punkt $P = (0, -3)$:
$$-3 = a(0 + 2)^2 + 5$$
$$-3 = 4a + 5 \implies -8 = 4a \implies a = -2$$
* Ostateczny wzór: $f(x) = -2(x + 2)^2 + 5$.

—

## 6. Najczęstsze błędy

1. **Błędne odczytanie znaku pierwszej współrzędnej wierzchołka ($p$):**
* Pamiętaj! Dla $f(x) = (x + 4)^2 + 1$ mamy $p = -4$, a nie $p = 4$. Znak w nawiasie ulega zmianie na przeciwny!
2. **Mylenie współrzędnych przy określaniu przedziałów monotoniczności:**
* Monotoniczność wyznaczamy zawsze na podstawie argumentów, czyli osi $OX$ (używamy liczby $p$).
* Zbiór wartości określamy na podstawie osi $OY$ (używamy liczby $q$).
3. **Zapominanie o kwadracie:**
* Częstym błędem rachunkowym przy podstawianiu punktów do wzoru jest zapominanie o podniesieniu nawiasu do kwadratu, np. pisanie $a(3 – 1)$ zamiast $a(3 – 1)^2$.

—

## 7. Szybka powtórka

* **Postać kanoniczna:** $f(x) = a(x – p)^2 + q$
* **Wierzchołek:** $W = (p, q)$
* **Wektor przesunięcia z $y = ax^2$:** $\vec{v} = [p, q]$
* **Oś symetrii:** $x = p$
* **Gdy $a > 0$:** ramiona $\bigcup$, minimum $y = q$, $ZW = \langle q, +\infty)$
* **Gdy $a < 0$:** ramiona $\bigcap$, maksimum $y = q$, $ZW = (-\infty, q\rangle$

# Temat: Funkcja liniowa i jej własności

—

## 1. Najważniejsze informacje i teoria

**Funkcja liniowa** to jedna z podstawowych i najważniejszych funkcji w matematyce. Jej wykres na płaszczyźnie kartazjańskiej jest zawsze **prostą**.

### Definicja
Funkcją liniową nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$, którą można zapisać wzorem:
$$f(x) = ax + b$$ lub $$y = ax + b$$

gdzie $a$ oraz $b$ są stałymi liczbami rzeczywistymi, a $x$ jest zmienną niezależną.

### Znaczenie współczynników $a$ i $b$:
1. **Współczynnik kierunkowy $a$**:
* Decyduje o kącie nachylenia wykresu funkcji do osi $OX$.
* Określa **monotoniczność** funkcji.
2. **Wyraz wolny $b$**:
* Wskazuje punkt przecięcia wykresu z osią $OY$. Prosta przecina oś $OY$ w punkcie $(0, b)$.

—

## 2. Wzory i zasady

### Monotoniczność funkcji liniowej
Monotoniczność zależy wyłącznie od znaku współczynnika kierunkowego $a$:
* Jeżeli $a > 0$, funkcja jest **rosnąca**.
* Jeżeli $a < 0$, funkcja jest **malejąca**. * Jeżeli $a = 0$, funkcja jest **stała** ($f(x) = b$). ### Miejsce zerowe Miejsce zerowe to taki argument $x$, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ ($f(x) = 0$). * Dla $a \neq 0$ miejsce zerowe wyznaczamy ze wzoru: $$x_0 = -\frac{b}{a}$$ * Dla $a = 0$ i $b = 0$ funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych. * Dla $a = 0$ i $b \neq 0$ funkcja nie ma miejsc zerowych. ### Wzór na wyznaczenie $a$ mając dwa punkty $A(x_1, y_1)$ oraz $B(x_2, y_2)$: $$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \quad \text{dla } x_1 \neq x_2$$ ### Warunki równoległości i prostopadłości prostych Mamy dwie proste: $k: y = a_1 x + b_1$ oraz $l: y = a_2 x + b_2$. * **Warunek równoległości ($k \parallel l$):** $$a_1 = a_2$$ *(Proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe).* * **Warunek prostopadłości ($k \perp l$):** $$a_1 \cdot a_2 = -1 \quad \implies \quad a_2 = -\frac{1}{a_1}$$ *(Proste są prostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe są liczbami przeciwnymi i odwrotnymi).* --- ## 3. Przykłady rozwiązane krok po kroku ### Przykład 1: Badanie własności funkcji liniowej Dana jest funkcja liniowa $f(x) = -2x + 6$. a) Wyznacz miejsce zerowe funkcji. b) Określ punkt przecięcia z osią $OY$. c) Określ monotoniczność funkcji. **Rozwiązanie:** * **Krok a)** Wyznaczamy miejsce zerowe, przyrównując $f(x)$ do $0$: $$-2x + 6 = 0$$ $$-2x = -6 \quad / : (-2)$$ $$x = 3$$ *Odpowiedź:* Miejscem zerowym jest $x = 3$ (punkt $(3,0)$). * **Krok b)** Punkt przecięcia z oś $OY$ to $(0, b)$. Odczytujemy $b = 6$: *Odpowiedź:* Prosta przecina oś $OY$ w punkcie $(0, 6)$. * **Krok c)** Odczytujemy współczynnik $a = -2$. Ponieważ $a < 0$: *Odpowiedź:* Funkcja jest malejąca. --- ### Przykład 2: Wyznaczanie wzoru funkcji przechodzącej przez dwa punkty Wyznacz wzór funkcji liniowej $f(x) = ax + b$, której wykres przechodzi przez punkty $A(2, 5)$ oraz $B(-1, -1)$. **Rozwiązanie:** * **Krok 1:** Podstawiamy współrzędne punktów $A(x=2, y=5)$ i $B(x=-1, y=-1)$ do wzoru ogólnego $y = ax + b$, tworząc układ równań: $$\begin{cases} 5 = 2a + b \\ -1 = -a + b \end{cases}$$ * **Krok 2:** Odejmujemy równania stronami, aby wyeliminować $b$: $$(5 - (-1)) = (2a - (-a)) + (b - b)$$ $$6 = 3a \quad / : 3$$ $$a = 2$$ * **Krok 3:** Podstawiamy $a = 2$ do jednego z równań, aby obliczyć $b$: $$5 = 2 \cdot 2 + b$$ $$5 = 4 + b$$ $$b = 1$$ * **Krok 4:** Zapisujemy wzór funkcji: *Odpowiedź:* Wzór funkcji to $f(x) = 2x + 1$. --- ### Przykład 3: Wyznaczanie prostej równoległej i prostopadłej Wyznacz wzór funkcji liniowej $g(x)$, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji $f(x) = 3x - 4$ i przechodzi przez punkt $P(6, 1)$. **Rozwiązanie:** * **Krok 1:** Określamy współczynnik kierunkowy prostej $f(x)$, czyli $a_1 = 3$. * **Krok 2:** Korzystamy z warunku prostopadłości $a_1 \cdot a_2 = -1$: $$3 \cdot a_2 = -1 \implies a_2 = -\frac{1}{3}$$ Zatem szukana funkcja ma postać $g(x) = -\frac{1}{3}x + b$. * **Krok 3:** Podstawiamy współrzędne punktu $P(x=6, y=1)$ do wzoru $g(x)$, aby obliczyć $b$: $$1 = -\frac{1}{3} \cdot 6 + b$$ $$1 = -2 + b$$ $$b = 3$$ * **Krok 4:** Zapisujemy ostateczny wzór: *Odpowiedź:* Wzór funkcji prostopadłej to $g(x) = -\frac{1}{3}x + 3$. --- ## 4. Zadania do samodzielnego rozwiązania **Zadanie 1.** Dla funkcji liniowej $f(x) = 4x - 8$: a) Wyznacz miejsce zerowe. b) Podaj punkt przecięcia wykresu z osią $OY$. c) Określ, czy funkcja jest rosnąca, malejąca czy stała. **Zadanie 2.** Napisz wzór funkcji liniowej $f$, która spełnia warunki: $f(1) = 3$ oraz $f(3) = 11$. **Zadanie 3.** Napisz wzór funkcji liniowej $g$, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji $f(x) = -2x + 5$ i przechodzi przez punkt $A(3, 1)$. **Zadanie 4.** Wyznacz wzór funkcji liniowej $h$, której wykres jest prostopadły do prostej o równaniu $y = \frac{1}{2}x + 2$ i przechodzi przez punkt $K(-2, 5)$. **Zadanie 5.** Dla jakiej wartości parametru $m$ funkcja liniowa $f(x) = (2m - 6)x + 4$ jest malejąca? --- ## 5. Odpowiedzi do zadań **Zadanie 1:** a) $x_0 = 2$ b) $(0, -8)$ c) Funkcja jest rosnąca (ponieważ $a = 4 > 0$).

**Zadanie 2:**
$f(x) = 4x – 1$

**Zadanie 3:**
$g(x) = -2x + 7$

**Zadanie 4:**
$h(x) = -2x + 1$

**Zadanie 5:**
Funkcja jest malejąca, gdy $a < 0$, czyli: $$2m - 6 < 0$$ $$2m < 6$$ $$m < 3$$ *Odpowiedź:* Funkcja jest malejąca dla $m \in (-\infty, 3)$. --- ## 6. Najczęstsze błędy 1. **Mylenie współrzędnych punktu:** Pamiętaj, że punkt to zawsze układ $(x, y)$. Częstym błędem jest podstawianie współrzędnej $y$ w miejsce $x$ we wzorze funkcji. 2. **Błędne stosowanie warunku prostopadłości:** Często uczniowie zapominają o zmianie znaku i biorą tylko odwrotność liczby (np. dla $a = 2$ biorą $a_2 = \frac{1}{2}$ zamiast $a_2 = -\frac{1}{2}$). 3. **Błędy w znakach przy wyznaczaniu miejsca zerowego:** Wzór to $x_0 = -\frac{b}{a}$. Przenosząc wyraz wolny na drugą stronę równania, należy zmienić jego znak na przeciwny. 4. **Mylenie pojęć "miejsce zerowe" i "punkt przecięcia z osią $OX$":** * Miejsce zerowe to liczba (np. $x = 3$). * Punkt przecięcia z osią $OX$ to współrzędne na płaszczyźnie (np. $(3, 0)$). --- ## 7. Szybka powtórka * **Wzór ogólny:** $f(x) = ax + b$ * **Monotoniczność:** * $a > 0 \implies$ rosnąca
* $a < 0 \implies$ malejąca * $a = 0 \implies$ stała * **Miejsce zerowe:** punkt, w którym $y = 0 \implies x_0 = -\frac{b}{a}$ * **Przecięcie z osią $OY$:** punkt $(0, b)$ * **Równoległość prostych:** $a_1 = a_2$ * **Prostopadłość prostych:** $a_1 \cdot a_2 = -1$

# Odczytywanie własności funkcji z wykresu

Wykres funkcji to jej graficzna reprezentacja, z której można „odczytać” niemal wszystkie jej najważniejsze cechy. Umiejętność ta jest jedną z podstawowych w całej matematyce w szkole ponadpodstawowej.

—

## 1. Najważniejsze informacje i teoria

Aby poprawnie odczytywać własności funkcji z wykresu, musimy pamiętać o podstawowym podziale osi układu współrzędnych:
* **Oś $OX$ (pozioma):** dotyczy **argumentów** ($x$).
* **Oś $OY$ (pionowa):** dotyczy **wartości funkcji** ($y$ lub $f(x)$).

### Podstawowe własności funkcji:

1. **Dziedzina funkcji ($D$ lub $D_f$):** Zbiór wszystkich argumentów ($x$), dla których funkcja istnieje. Odczytujemy ją z osi $OX$ – „od lewej do prawej”.
2. **Zbiór wartości funkcji ($ZW$ lub $Y_f$):** Zbiór wszystkich wartości ($y$), które przyjmuje funkcja. Odczytujemy go z osi $OY$ – „od dołu do góry”.
3. **Miejsce zerowe:** Taki argument $x$, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ ($f(x) = 0$). Na wykresie jest to punkt (lub punkty), w którym wykres przecina lub dotyka osi $OX$.
4. **Punkt przecięcia z osią $OY$:** Punkt o współrzędnych $(0, y)$, w którym wykres przecina pionową oś. Funkcja może mieć co najwyżej jeden taki punkt.
5. **Monotoniczność funkcji:** Określa, jak zachowują się wartości funkcji wraz ze wzrostem argumentów:
* **Funkcja rosnąca:** wykres „idzie w górę” (patrząc od lewej do prawej).
* **Funkcja malejąca:** wykres „idzie w dół”.
* **Funkcja stała:** wykres jest poziomą linią.
6. **Wartość największa i najmniejsza ($f_{max}$, $f_{min}$):**
* **Wartość największa ($y_{max}$):** najwyższy punkt na wykresie (odczytywany z osi $OY$).
* **Wartość najmniejsza ($y_{min}$):** najniższy punkt na wykresie (odczytywany z osi $OY$).
7. **Znak wartości funkcji:**
* **Wartości dodatnie ($f(x) > 0$):** część wykresu znajdująca się **nad** osią $OX$.
* **Wartości ujemne ($f(x) < 0$):** część wykresu znajdująca się **pod** osią $OX$. --- ## 2. Wzory i zasady * **Oznaczenia przedziałów:** * Kropka zamalowana ($\bullet$) na końcu wykresu oznacza, że punkt należy do wykresu – stosujemy nawias kwadratowy: $\langle$ lub $\rangle$. * Kropka pusta ($\circ$) oznacza, że punkt nie należy do wykresu – stosujemy nawias okrągły: $($ lub $)$. * Jeżeli wykres kończy się bez żądnej kropki i „wychodzi” poza siatkę, przyjmujemy, że dąży do nieskończoności ($-\infty$ lub $+\infty$). * **Zapis monotoniczności (BARDZO WAŻNE):** Przedziały monotoniczności wypisujemy **osobno**, rozdzielając je słowem „oraz” lub przecinkiem. **Nie używamy symbolu sumy zbiorów ($\cup$)!** *Poprawnie:* Funkcja jest rosnąca w przedziałach $x \in \langle -5, -2 \rangle$ oraz $x \in \langle 3, 6 \rangle$. *Błędnie:* Funkcja jest rosnąca dla $x \in \langle -5, -2 \rangle \cup \langle 3, 6 \rangle$. --- ## 3. Przykłady rozwiązane krok po kroku ### Przykład 1: Pełna analiza własności funkcji Przeanalizujmy funkcję $f$, której wykres składa się z odcinków łączących kolejno punkty: $A(-6, -3)$ [kropka zamalowana] do $B(-2, 3)$, od $B(-2, 3)$ do $C(1, 3)$, od $C(1, 3)$ do $D(5, -1)$, od $D(5, -1)$ do $E(7, 1)$ [kropka zamalowana]. Wykres przecina oś $OX$ w punktach $x = -4$, $x = 4$ oraz $x = 6$. ``` WIZUALIZACJA PRZEBIEGU WYKRESU: 3 + B-------C 2 | / \ 1 | / \ E -------+--/----|--------\---|----|---> X
-6 -4 -2 4 5 6 7
-1 | \ /
-2 | D
-3 + A
|
„`

#### Rozwiązanie krok po kroku:

1. **Wyznaczamy dziedzinę ($D_f$):**
* Najbardziej wysunięty na lewo punkt ma współrzędną $x = -6$ (kropka zamalowana).
* Najbardziej wysunięty na prawo punkt ma współrzędną $x = 7$ (kropka zamalowana).
* **Odpowiedź:** $D_f = \langle -6, 7 \rangle$.

2. **Wyznaczamy zbiór wartości ($ZW_f$):**
* Najniżej położony punkt ma współrzędną $y = -3$ (punkt $A$).
* Najwyżej położony punkt ma współrzędną $y = 3$ (odcinek $BC$).
* **Odpowiedź:** $ZW_f = \langle -3, 3 \rangle$.

3. **Podajemy miejsca zerowe:**
* Wykres przecina oś $OX$ w punktach $(-4,0)$, $(4,0)$ oraz $(6,0)$.
* **Odpowiedź:** Miejsca zerowe to $x_1 = -4$, $x_2 = 4$, $x_3 = 6$.

4. **Określamy monotoniczność:**
* Wykres idzie w górę dla $x$ od $-6$ do $-2$ oraz od $5$ do $7$.
* Wykres jest poziomy dla $x$ od $-2$ do $1$.
* Wykres idzie w dół dla $x$ od $1$ do $5$.
* **Odpowiedź:**
* Funkcja jest rosnąca w przedziałach: $x \in \langle -6, -2 \rangle$ oraz $x \in \langle 5, 7 \rangle$.
* Funkcja jest malejąca w przedziale: $x \in \langle 1, 5 \rangle$.
* Funkcja jest stała w przedziale: $x \in \langle -2, 1 \rangle$.

5. **Wskazujemy wartości najmniejsze i największe:**
* **Odpowiedź:**
* Wartość najmniejsza wynosi $-3$ dla argumentu $x = -6$ ($f_{min} = -3$).
* Wartość największa wynosi $3$ dla argumentów $x \in \langle -2, 1 \rangle$ ($f_{max} = 3$).

6. **Określamy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie i ujemne:**
* $f(x) > 0$ (wykres nad osią $OX$): $x \in (-4, 4) \cup (6, 7\rangle$.
* $f(x) < 0$ (wykres pod osią $OX$): $x \in \langle -6, -4) \cup (4, 6)$. *(Uwaga: w miejscach zerowych wartość wynosi 0, więc nawiasy przy miejscach zerowych są otwarte!)* --- ## 4. Zadania do samodzielnego rozwiązania ### Zadanie 1 Wykres funkcji $g(x)$ jest ciągłą linią łamaną łączącą punkty: $P_1(-5, 2)$ [zamalowana kropka], $P_2(-2, -3)$, $P_3(2, -3)$, $P_4(4, 0)$ oraz $P_5(6, 4)$ [pusta kropka]. Wykres przecina oś $OX$ w punktach $x = -4$ oraz $x = 4$. Na podstawie opisu wyznacz: a) Dziedzinę i zbiór wartości funkcji $g$. b) Miejsca zerowe funkcji $g$. c) Przedziały monotoniczności funkcji $g$. d) Przedział, w którym funkcja przyjmuje wartości ujemne ($g(x) < 0$). ### Zadanie 2 Funkcja $h$ określona jest na przedziale $\langle -3, 5 \rangle$. Poniżej przedstawiono wybrane wartości tej funkcji odczytane z wykresu: * $h(-3) = -1$ * $h(0) = 3$ (punkt przecięcia z osią $OY$) * Miejsca zerowe to $x = -2$ oraz $x = 3$. * Funkcja jest rosnąca tylko w przedziale $\langle -3, 1 \rangle$, a malejąca w przedziale $\langle 1, 5 \rangle$. Najwyższy punkt wykresu to $(1, 4)$, a dla $x = 5$ wartość wynosi $-2$. Odpowiedz na pytania: a) Ile wynosi wartość największa i najmniejsza funkcji $h$ w jej dziedzinie? b) Dla jakich argumentów $x$ zachodzi nierówność $h(x) \ge 0$? c) Ile wynosi wartość wyrażenia $h(0) + h(3)$? --- ## 5. Odpowiedzi do zadań ### Zadanie 1 a) **Dziedzina:** $D_g = \langle -5, 6)$; **Zbiór wartości:** $ZW_g = \langle -3, 4)$ *(uwaga na pustą kropkę przy $x=6, y=4$!)* b) Miejsca zerowe: $x = -4$ oraz $x = 4$. c) Funkcja jest malejąca w przedziale $x \in \langle -5, -2 \rangle$; stała w przedziale $x \in \langle -2, 2 \rangle$; rosnąca w przedziale $x \in \langle 2, 6)$. d) $g(x) < 0$ dla $x \in (-4, 4)$. ### Zadanie 2 a) Wartość największa $h_{max} = 4$ (dla $x = 1$). Wartość najmniejsza $h_{min} = -2$ (dla $x = 5$). b) $h(x) \ge 0$ dla $x \in \langle -2, 3 \rangle$. c) $h(0) = 3$, $h(3) = 0$, więc $h(0) + h(3) = 3 + 0 = 3$. --- ## 6. Najczęściej popełniane błędy 1. **Mylenie osi $OX$ i $OY$:** * Pamiętaj: **Argumenty** to $x$ (oś pozioma), a **Wartości** to $y$ (oś pionowa). * Pyranie *„Dla jakich argumentów...”* oznacza szukanie $x$. Pytanie *„Jaką wartość przyjmuje...”* oznacza szukanie $y$. 2. **Używanie sumy zbiorów ($\cup$) przy wypisywaniu monotoniczności:** * Zapis $x \in \langle -2, 0 \rangle \cup \langle 3, 5 \rangle$ dla funkcji rosnącej jest błędem formalnym na sprawdzianach i maturze. Należy napisać: $x \in \langle -2, 0 \rangle$ **oraz** $x \in \langle 3, 5 \rangle$. 3. **Mylenie miejsca zerowego z punktem:** * Miejsce zerowe to **sam argument** $x$ (np. $x = 3$), a nie punkt $(3, 0)$. 4. **Niewłaściwe domykanie przedziałów przy wartościach dodatnich/ujemnych:** * Przy pytaniu o $f(x) > 0$ (ściśle dodatnie) miejsca zerowe **nigdy nie należą** do przedziału (stosujemy nawiasy otwarte).
* Domknięcie stosujemy tylko przy nierównościach nieskrajnych: $f(x) \ge 0$ lub $f(x) \le 0$.

—

## 7. Szybka powtórka

| Co odczytujemy? | Z której osi? | Jak zapisujemy? |
| :— | :— | :— |
| **Dziedzina ($D_f$)** | Oś $OX$ (szerokość wykresu od lewej do prawej) | Předział, np. $\langle -3, 8 \rangle$ |
| **Zbiór wartości ($ZW_f$)** | Oś $OY$ (wysokość wykresu od dołu do góry) | Przedział, np. $\langle -2, 5 \rangle$ |
| **Miejsca zerowe** | Przecięcia z osią $OX$ | Liczby, np. $x = 2$ |
| **Monotoniczność** | Oś $OX$ (gdzie funkcja rośnie/maleje) | Osobne przedziały ze słowem „oraz” |
| **Wartości $f(x) > 0$** | Oś $OX$ (dla których $x$ wykres jest NAD osią) | Przedziały (zwykle nawiasy otwarte) |
| **Wartości min/max** | Najniższy/najwyższy punkt -> odczyt z osi $OY$ | Liczba $y_{min}$ lub $y_{max}$ |

# Lekcja: Pojęcie funkcji i sposoby jej przedstawiania

—

## 1. Najważniejsze informacje i teoria

**Pojęcie funkcji** to jedno z najważniejszych zagadnień w całej matematyce.

> **Definicja funkcji:**
> **Funkcją** ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywamy takie przyporządkowanie, które **każdemu** elementowi ze zbioru $X$ przyporządkowuje **dokładnie jeden** element ze zbioru $Y$.

### Podstawowe pojęcia:
* **Dziedzina funkcji ($D$ lub $D_f$):** Zbiór $X$, z którego bierzesz argumenty (zbiór wszystkich „iksów”, dla których funkcja ma sens).
* **Przeciwdziedzina:** Zbiór $Y$, w którym funkcja przyjmuje swoje wartości.
* **Zbiór wartości funkcji ($ZW$ lub $ZW_f$):** Zbiór wszystkich elementów z $Y$, które zostały rzeczywiście przyporządkowane argumentom ze zbioru $X$.
* **Argument:** Element dziedziny (zazwyczaj oznaczany jako $x$).
* **Wartość funkcji:** Element zbioru wartości przypisany danemu argumentowi (zazwyczaj oznaczany jako $y$ lub $f(x)$).

—

## 2. Wzory i zasady

### Zapis matematyczny:
* $f: X \to Y$ (czytamy: *funkcja $f$ odwzorowuje zbiór $X$ w zbiór $Y$*)
* $y = f(x)$ (czytamy: *$y$ równa się $f$ od $x$*)

### Sposoby przedstawiania funkcji:
1. **Opis słowny:** np. *”Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy jej kwadrat powiększony o 1.”*
2. **Wzór (zapis algebraiczny):** np. $f(x) = x^2 + 1$ dla $x \in \mathbb{R}$
3. **Tabela:** Zestawienie argumentów ($x$) i odpowiadających im wartości ($y$).
4. **Graf (diagram):** Przedstawienie przyporządkowania za pomocą zbiorów i strzałek.
5. **Wykres:** Zbiór punktów $(x, y)$ w układzie współrzędnych.
6. **Zbiór par uporządkowanych:** np. $f = \{(1, 2), (2, 5), (3, 10)\}$

### Test prostej pionowej (dla wykresów):
Rysunek w układzie współrzędnych **jest wykresem funkcji**, jeśli każda prosta pionowa (równoległa do osi $OY$) przecina ten wykres **co najwyżej w jednym punkcie**.

—

## 3. Przykłady rozwiązane krok po kroku

### Przykład 1: Czy to jest funkcja? (Grafy i zbioru par)
Sprawdź, czy poniższe relacje są funkcjami:
a) $A = \{(1, 3), (2, 3), (3, 4)\}$
b) $B = \{(1, 2), (1, 5), (3, 7)\}$

**Rozwiązanie:**
* **a)** Bbadamy argumenty ($x$): dla $x=1$ mamy $y=3$, dla $x=2$ mamy $y=3$, dla $x=3$ mamy $y=4$.
Każdemu $x$ przypisano **dokładnie jeden** $y$ (wartości mogą się powtarzać, np. dla $1$ i $2$ jest ta sama wartość $3$).
**Odp:** Tak, zbiór $A$ opisuje funkcję.
* **b)** Dla argumentu $x=1$ przyporządkowano dwie różne wartości: $y=2$ oraz $y=5$. Narusza to definicję funkcji („dokładnie jeden element”).
**Odp:** Nie, zbiór $B$ nie jest funkcją.

—

### Przykład 2: Obliczanie wartości funkcji ze wzoru
Dana jest funkcja $f(x) = 3x^2 – 2x + 4$. Oblicz wartości: $f(2)$, $f(-1)$ oraz $f(0)$.

**Rozwiązanie:**
Podstawiamy odpowiednie liczby w miejsce każdego $x$ we wzorze.

1. **Dla $x = 2$:**
$$f(2) = 3 \cdot (2)^2 – 2 \cdot (2) + 4 = 3 \cdot 4 – 4 + 4 = 12 – 4 + 4 = 12$$

2. **Dla $x = -1$:**
$$f(-1) = 3 \cdot (-1)^2 – 2 \cdot (-1) + 4 = 3 \cdot 1 + 2 + 4 = 3 + 2 + 4 = 9$$

3. **Dla $x = 0$:**
$$f(0) = 3 \cdot (0)^2 – 2 \cdot (0) + 4 = 0 – 0 + 4 = 4$$

—

### Przykład 3: Wyznaczanie dziedziny ze wzoru
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x) = \frac{x + 5}{x – 3}$.

**Rozwiązanie:**
1. Pamiętamy podstawową zasadę matematyczną: **nie wolno dzielić przez zero**.
2. Mianownik ułamka musi być różny od zera:
$$x – 3 \neq 0 \implies x \neq 3$$
3. Zapisujemy dziedzinę:
$$D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$$
(Dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby 3).

—

## 4. Zadania do samodzielnego rozwiązania

### Zadanie 1.
Określ, które z poniższych zbiorów par uporządkowanych przedstawiają funkcję:
* a) $K = \{(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)\}$
* b) $L = \{(-2, 1), (-1, 1), (0, 1), (1, 1)\}$
* c) $M = \{(4, 2), (4, -2), (9, 3), (9, -3)\}$

### Zadanie 2.
Dana jest funkcja opisana wzorem $f(x) = -2x + 5$ określona na zbiorze $D = \{-2, 0, 1, 3\}$.
* a) Oblicz wartości funkcji dla wszystkich argumentów z dziedziny.
* b) Przedstaw tę funkcję za pomocą tabeli.
* c) Podaj zbiór wartości tej funkcji ($ZW$).

### Zadanie 3.
Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji $f(x) = \frac{2x}{2x – 8}$.

### Zadanie 4.
Funkcja przyporządkowuje każdej liczbie całkowitej ze zbioru $X = \{-1, 0, 1, 2\}$ wartość o 3 większą od jej podwojonej wartości. Zapisz wzór tej funkcji oraz znajdź jej zbiór wartości.

—

## 5. Odpowiedzi do zadań

* **Zadanie 1:**
* a) **Tak**, to jest funkcja.
* b) **Tak**, to jest funkcja (funkcja stała).
* c) **Nie**, to nie jest funkcja (np. dla $x=4$ mamy dwa różne $y$: $2$ oraz $-2$).

* **Zadanie 2:**
* a) $f(-2) = -2 \cdot (-2) + 5 = 9$, $f(0) = 5$, $f(1) = 3$, $f(3) = -1$
* b) Tabela:
| $x$ | $-2$ | $0$ | $1$ | $3$ |
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |
| $f(x)$ | $9$ | $5$ | $3$ | $-1$ |
* c) Zbiór wartości $ZW = \{-1, 3, 5, 9\}$

* **Zadanie 3:**
* Mianownik nie może być zerem: $2x – 8 \neq 0 \implies 2x \neq 8 \implies x \neq 4$.
* Odpowiedź: $D = \mathbb{R} \setminus \{4\}$

* **Zadanie 4:**
* Wzór: $f(x) = 2x + 3$
* Obliczenia wartości: $f(-1) = 1$, $f(0) = 3$, $f(1) = 5$, $f(2) = 7$
* Zbiór wartości: $ZW = \{1, 3, 5, 7\}$

—

## 6. Najczęstsze błędy

1. **Mylenie pojęcia funkcji z równaniem:** Nie każde przyporządkowanie jest funkcją – kluczowe jest słowo **dokładnie jeden** element przypisany do danego $x$.
2. **Dwa $y$ dla jednego $x$:** Częsty błąd przy interpretacji graficznej – np. okrąg w układzie współrzędnych **nie jest** wykresem funkcji, ponieważ dla jednego $x$ istnieją dwa punkty na okręgu.
3. **Błędy przy znakach przy podstawianiu liczb ujemnych:**
Pamiętaj o nawiasach! Zapis $-2^2 = -4$, ale $(-2)^2 = 4$. Przy obliczaniu wartości $f(-2)$ dla $f(x)=x^2$ poprawny zapis to $(-2)^2 = 4$.
4. **Mylenie argumentów z wartościami:**
* Argument to $x$ (oś pozioma $OX$).
* Wartość to $y$ lub $f(x)$ (oś pionowa $OY$).

—

## 7. Szybka powtórka

* **Pojęcie funkcji:** DLA KAŻDEGO $x$ istnieje DOKŁADNIE JEDEN $y$.
* **Argument ($x$):** Element z dziedziny.
* **Wartość ($y$ lub $f(x)$):** Wynik przyporządkowany dla danego $x$.
* **Dziedzina ($D$):** Zbiór wszystkich argumentów (pamiętaj: $D \neq 0$ w mianowniku!).
* **Sposoby zapisu:** Słowny, wzór, tabela, graf, wykres, pary liczb.
* **Wykres funkcji:** Prosta pionowa może go przeciąć **maksymalnie raz**.

# Kompleksowa Lekcja Matematyki: Własności funkcji liniowej

**Poziom:** Liceum, Klasa 1
**Dział:** Funkcje
**Temat:** Własności funkcji liniowej

—

## 1. Najważniejsze informacje i teoria

Funkcja liniowa to jedna z najważniejszych i najczęściej spotykanych funkcji w matematyce szkolnej. Jej wykresem na płaszczyźnie kartezjańskiej (układzie współrzędnych) jest zawsze **prosta**.

Wzór ogólny funkcji liniowej w postaci kierunkowej to:
$$f(x) = ax + b$$
lub
$$y = ax + b$$

gdzie:
* $x$ to zmienna niezależna (argument),
* $y$ (lub $f(x)$) to zmienna zależna (wartość funkcji),
* $a$ to **współczynnik kierunkowy** prostej,
* $b$ to **wyraz wolny**.

### Kluczowe własności funkcji liniowej:

1. **Dziedzina i zbiór wartości:**
* Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych: $D = \mathbb{R}$.
* Zbiorem wartości ($ZW$) dla $a \neq 0$ jest również zbiór liczb rzeczywistych: $ZW = \mathbb{R}$. Dla $a = 0$ (funkcja stała) zbiorem wartości jest jednoelementowy zbiór $\{b\}$.

2. **Monotoniczność:**
Monotoniczność funkcji liniowej zależy wyłącznie od znaku współczynnika kierunkowego $a$:
* Jeśli $a > 0$, funkcja jest **rosnąca**.
* Jeśli $a < 0$, funkcja jest **malejąca**. * Jeśli $a = 0$, funkcja jest **stała**. 3. **Miejsce zerowe:** Miejsce zerowe to taki argument $x$, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ (czyli punkt przecięcia wykresu z osią $OX$). Dla $a \neq 0$ funkcja liniowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe. 4. **Interpretacja geometryczna współczynników:** * **Współczynnik $a$** decyduje o kącie nachylenia wykresu do osi $OX$. Im większa wartość bezwzględna $|a|$, tym wykres jest bardziej "stromy". Zachodzi związek: $a = \operatorname{tg} \alpha$, gdzie $\alpha$ to kąt nachylenia prostej do osi $OX$. * **Wyraz wolny $b$** wyznacza punkt przecięcia wykresu z osią $OY$. Punkt ten ma zawsze współrzędne $(0, b)$. --- ## 2. Wzory i zasady Oto zestawienie najważniejszych wzorów, które musisz znać na pamięć: | Własność / Pojęcie | Wzór / Warunek | Opis | | :--- | :--- | :--- | | **Postać kierunkowa** | $y = ax + b$ | Podstawowy wzór funkcji liniowej. | | **Miejsce zerowe** | $x_0 = -\frac{b}{a}$ | Obliczane dla $a \neq 0$. | | **Przecięcie z osią $OY$** | $(0, b)$ | Punkt, w którym prosta przecina oś pionową. | | **Przecięcie z osią $OX$** | $\left(-\frac{b}{a}, 0\right)$ | Współrzędne miejsca zerowego. | | **Warunek równoległości** | $a_1 = a_2$ | Dwie proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe. | | **Warunek prostopadłości** | $a_1 \cdot a_2 = -1$ | Dwie proste są prostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe są przeciwne i odwrotne ($a_2 = -\frac{1}{a_1}$). | --- ## 3. Przykłady rozwiązane krok po kroku ### Przykład 1: Badanie własności danej funkcji Dana jest funkcja liniowa o wzorze $f(x) = -3x + 6$. 1. Określ jej monotoniczność. 2. Znajdź miejsce zerowe. 3. Wyznacz punkt przecięcia z osią $OY$. 4. Określ, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie. **Rozwiązanie:** * **Krok 1: Monotoniczność** Wypisujemy współczynniki: $a = -3$, $b = 6$. Ponieważ $a = -3 < 0$, funkcja jest **malejąca**. * **Krok 2: Miejsce zerowe** Podstawiamy do wzoru $x_0 = -\frac{b}{a}$: $$x_0 = -\frac{6}{-3} = 2$$ *Alternatywnie:* Rozwiązujemy równanie $f(x) = 0$: $$-3x + 6 = 0 \implies -3x = -6 \implies x = 2$$ Miejscem zerowym jest $x = 2$. * **Krok 3: Przecięcie z osią $OY$** Wyraz wolny $b = 6$. Punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0, 6)$. * **Krok 4: Wartości dodatnie ($f(x) > 0$)**
Rozwiązujemy nierówność:
$$-3x + 6 > 0$$
$$-3x > -6 \quad / :(-3) \quad \text{(pamiętamy o zmianie zwrotu nierówności!)}$$
$$x < 2$$ Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (-\infty, 2)$. --- ### Przykład 2: Wyznaczanie wzoru funkcji przechodzącej przez dwa punkty Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty $A(2, 5)$ i $B(-1, -1)$. **Rozwiązanie:** * **Krok 1: Zapisanie układu równań** Podstawiamy współrzędne punktów $(x, y)$ do ogólnego wzoru $y = ax + b$. Dla punktu $A(2, 5)$: $5 = 2a + b$ Dla punktu $B(-1, -1)$: $-1 = -1a + b$ Otrzymujemy układ równań: $$\begin{cases} 2a + b = 5 \\ -a + b = -1 \end{cases}$$ * **Krok 2: Rozwiązanie układu równań** Odejmujemy drugie równanie od pierwszego stronami: $$(2a + b) - (-a + b) = 5 - (-1)$$ $$2a + b + a - b = 6$$ $$3a = 6 \implies a = 2$$ Teraz obliczamy $b$, podstawiając $a = 2$ do drugiego równania: $$-2 + b = -1 \implies b = 1$$ * **Krok 3: Zapisanie odpowiedzi** Wzór szukanej funkcji to: $f(x) = 2x + 1$. --- ### Przykład 3: Zadanie z parametrem Dla jakich wartości parametru $m$ funkcja $f(x) = (2m - 8)x + 5$ jest rosnąca? **Rozwiązanie:** * **Krok 1: Określenie warunku** Funkcja liniowa jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni ($a > 0$).
W naszym wzorze $a = 2m – 8$.

* **Krok 2: Rozwiązanie nierówności**
$$2m – 8 > 0$$
$$2m > 8 \quad / :2$$
$$m > 4$$

* **Krok 3: Odpowiedź**
Funkcja jest rosnąca dla $m \in (4, +\infty)$.

—

## 4. Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. **Zadanie 1:** Dana jest funkcja $f(x) = \frac{1}{2}x – 4$.
* a) Określ monotoniczność funkcji.
* b) Znajdź jej miejsce zerowe.
* c) Podaj współrzędne punktu przecięcia z osią $OY$.
2. **Zadanie 2:** Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji $y = -4x + 7$ i przechodzi przez punkt $P(2, -3)$.
3. **Zadanie 3:** Dla jakich wartości parametru $k$ funkcja $f(x) = (3 – 9k)x – 2$ jest malejąca?
4. **Zadanie 4:** Wyznacz miejsce zerowe funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty $A(-2, 7)$ i $B(3, -3)$.

—

## 5. Odpowiedzi do zadań

1. **Zadanie 1:**
* a) Ponieważ $a = \frac{1}{2} > 0$, funkcja jest **rosnąca**.
* b) $0 = \frac{1}{2}x – 4 \implies \frac{1}{2}x = 4 \implies x = 8$. Miejsce zerowe to $x_0 = 8$.
* c) Wyraz wolny $b = -4$, więc punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0, -4)$.

2. **Zadanie 2:**
Skoro prosta jest równoległa, to ma ten sam współczynnik kierunkowy: $a = -4$. Szukana prosta ma postać $y = -4x + b$.
Podstawiamy punkt $P(2, -3)$:
$$-3 = -4 \cdot 2 + b \implies -3 = -8 + b \implies b = 5$$
**Odpowiedź:** $y = -4x + 5$.

3. **Zadanie 3:**
Funkcja jest malejąca, gdy $a < 0$. $$3 - 9k < 0 \implies -9k < -3 \implies k > \frac{3}{9} \implies k > \frac{1}{3}$$
**Odpowiedź:** $k \in \left(\frac{1}{3}, +\infty\right)$.

4. **Zadanie 4:**
Najpierw wyznaczamy wzór funkcji przechodzącej przez punkty $A$ i $B$:
$$\begin{cases} -2a + b = 7 \\ 3a + b = -3 \end{cases}$$
Odejmując pierwsze równanie od drugiego: $5a = -10 \implies a = -2$.
Podstawiamy $a$: $3(-2) + b = -3 \implies -6 + b = -3 \implies b = 3$.
Wzór funkcji: $y = -2x + 3$.
Obliczamy miejsce zerowe: $0 = -2x + 3 \implies 2x = 3 \implies x = 1,5$.
**Odpowiedź:** Miejsce zerowe to $x_0 = 1,5$ (lub $\frac{3}{2}$).

—

## 6. Najczęstsze błędy

* **Mylenie współczynników $a$ i $b$:** Uczniowie często myślą, że to parametr $b$ decyduje o monotoniczności, podczas gdy zależy ona **wyłącznie** od parametru $a$.
* **Błąd znaku przy dzieleniu nierówności:** Podczas rozwiązywania nierówności (np. określaniu, gdzie funkcja przyjmuje wartości dodatnie/ujemne) zapominanie o zmianie zwrotu znaku nierówności przy dzieleniu przez liczbę ujemną.
*Przykład błędu:* $-2x > 6 \implies x > -3$ (Zamiast poprawnego: $x < -3$). * **Błędny wzór na miejsce zerowe:** Zapisywanie $x_0 = \frac{b}{a}$ zamiast poprawnego $x_0 = -\frac{b}{a}$. Zawsze bezpieczniej jest po prostu przyrównać wzór funkcji do zera ($f(x) = 0$) i rozwiązać proste równanie. --- ## 7. Szybka powtórka * **Wzór ogólny:** $y = ax + b$ * **Monotoniczność:** * $a > 0 \implies$ rośnie $\nearrow$
* $a < 0 \implies$ maleje $\searrow$ * $a = 0 \implies$ stała $\rightarrow$ * **Wykres przecina oś $OY$** w punkcie $(0, b)$. * **Miejsce zerowe** (przecięcie z osią $OX$) obliczasz z równania $ax+b=0$. * **Równoległe proste** mają taki sam współczynnik $a$ ($a_1 = a_2$). * **Prostopadłe proste** spełniają warunek $a_1 \cdot a_2 = -1$.

# Temat: Własności funkcji liniowej

Witaj na lekcji matematyki poświęconej **własnościom funkcji liniowej**. Funkcja liniowa to jedna z najważniejszych i najczęściej wykorzystywanych funkcji w matematyce oraz w życiu codziennym. Z tego materiału dowiesz się, jak odczytywać jej kluczowe własności z wzoru oraz wykresu.

—

## 1. Najważniejsze informacje i teoria

Funkcja liniowa to funkcja, którą możemy opisać wzorem:
$$f(x) = ax + b$$
gdzie:
* $x \in \mathbb{R}$ jest argumentem (zmienną niezależną),
* $f(x)$ (lub $y$) jest wartością funkcji (zmienną zależną),
* $a$ oraz $b$ są stałymi liczbami rzeczywistymi. Współczynniki te mają swoje specyficzne nazwy i decydują o **własnościach funkcji liniowej**.

### Współczynnik kierunkowy $a$
Liczba $a$ stoi przy zmiennej $x$ i decyduje o **monotoniczności** funkcji (czyli o tym, czy funkcja rośnie, maleje, czy jest stała):
* Jeśli $a > 0$, to funkcja jest **rosnąca** (wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji).
* Jeśli $a < 0$, to funkcja jest **malejąca** (wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji). * Jeśli $a = 0$, to funkcja jest **stała** (dla każdego argumentu wartość funkcji jest taka sama, wzór przyjmuje postać $f(x) = b$). ### Wyraz wolny $b$ Liczba $b$ to tzw. wyraz wolny. Decyduje on o punkcie przecięcia wykresu funkcji z osią $OY$. Wykres funkcji liniowej zawsze przecina oś $OY$ w punkcie o współrzędnych: $$(0, b)$$ ### Dziedzina i zbiór wartości * **Dziedziną** funkcji liniowej jest cały zbiór liczb rzeczywistych: $D = \mathbb{R}$. * **Zbiór wartości** ($ZW$): * Jeżeli $a \neq 0$, to zbiorem wartości jest cały zbiór liczb rzeczywistych: $ZW = \mathbb{R}$. * Jeżeli $a = 0$, to zbiorem wartości jest jednoelementowy zbiór: $ZW = \{b\}$. --- ## 2. Wzory i zasady Oto najważniejsze narzędzia matematyczne, których będziesz używać: ### Miejsce zerowe Miejsce zerowe to taki argument $x$, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ (czyli punkt przecięcia wykresu z osią $OX$). Aby je obliczyć, rozwiązujemy równanie $ax + b = 0$. * Dla $a \neq 0$, funkcja liniowa ma dokładnie **jedno miejsce zerowe** określone wzorem: $$x_0 = -\frac{b}{a}$$ * Dla $a = 0$ i $b \neq 0$, funkcja **nie ma miejsc zerowych**. * Dla $a = 0$ i $b = 0$, funkcja ma **nieskończenie wiele miejsc zerowych** (każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym). ### Badanie znaków funkcji Często musimy określić, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie ($f(x) > 0$), a dla jakich ujemne ($f(x) < 0$). W tym celu rozwiązujemy odpowiednie nierówności: $$ax + b > 0 \quad \text{lub} \quad ax + b < 0$$ --- ## 3. Przykłady rozwiązane krok po kroku ### Przykład 1: Wyznaczanie własności na podstawie wzoru Dana jest funkcja liniowa o wzorze $f(x) = -3x + 6$. 1. Określ monotoniczność funkcji. 2. Wyznacz punkt przecięcia wykresu z osią $OY$. 3. Oblicz miejsce zerowe. **Rozwiązanie:** * **Krok 1 (Monotoniczność):** Wypisujemy współczynniki: $a = -3$, $b = 6$. Ponieważ $a = -3 < 0$, funkcja jest **malejąca**. * **Krok 2 (Przecięcie z osią $OY$):** Punkt przecięcia z osią $OY$ ma współrzędne $(0, b)$. Zatem jest to punkt $(0, 6)$. * **Krok 3 (Miejsce zerowe):** Korzystamy ze wzoru $x_0 = -\frac{b}{a}$: $$x_0 = -\frac{6}{-3} = 2$$ *Alternatywnie możemy przyrównać wzór do zera:* $$-3x + 6 = 0 \implies -3x = -6 \implies x = 2$$ Miejsce zerowe to $x = 2$. Wykres przecina oś $OX$ w punkcie $(2, 0)$. ### Przykład 2: Określanie znaków funkcji Dla jakich argumentów funkcja $f(x) = 2x - 8$ przyjmuje wartości dodatnie? **Rozwiązanie:** Wartości dodatnie oznaczają, że szukamy $x$, dla których $f(x) > 0$.
* **Krok 1:** Zapisujemy nierówność:
$$2x – 8 > 0$$
* **Krok 2:** Rozwiązujemy nierówność:
$$2x > 8$$
$$x > 4$$
* **Odpowiedź:** Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów $x \in (4, +\infty)$.

### Przykład 3: Zadanie z parametrem (poziom rozszerzony w klasie 1)
Dla jakich wartości parametru $m$ funkcja liniowa $f(x) = (2m – 6)x + 5$ jest rosnąca?

**Rozwiązanie:**
* **Krok 1:** Wiemy, że funkcja liniowa jest rosnąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni ($a > 0$).
* **Krok 2:** Identyfikujemy współczynnik kierunkowy w naszym wzorze. Wszystko, co stoi przy $x$, to nasze $a$, czyli: $a = 2m – 6$.
* **Krok 3:** Zapisujemy i rozwiązujemy nierówność:
$$2m – 6 > 0$$
$$2m > 6$$
$$m > 3$$
* **Odpowiedź:** Funkcja jest rosnąca dla $m \in (3, +\infty)$.

—

## 4. Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. **Zadanie 1:** Dana jest funkcja $f(x) = 4x + 12$.
a) Określ monotoniczność tej funkcji.
b) Podaj współrzędne punktu przecięcia z osią $OY$.
c) Znajdź miejsce zerowe.
2. **Zadanie 2:** Określ, dla jakich argumentów funkcja $f(x) = -5x + 15$ przyjmuje wartości ujemne ($f(x) < 0$). 3. **Zadanie 3:** Dla jakich wartości parametru $k$ funkcja $f(x) = (10 - 2k)x - 4$ jest stała? 4. **Zadanie 4:** Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty $A(1, 2)$ oraz $B(3, 8)$. Następnie określ jej miejsce zerowe. --- ## 5. Odpowiedzi do zadań 1. **Zadanie 1:** a) Rosnąca, ponieważ $a = 4 > 0$.
b) $(0, 12)$, ponieważ $b = 12$.
c) $x_0 = -3$ (rozwiązanie równania $4x + 12 = 0$).
2. **Zadanie 2:**
$$-5x + 15 < 0 \implies -5x < -15 \implies x > 3$$
Odpowiedź: $x \in (3, +\infty)$.
3. **Zadanie 3:**
Funkcja jest stała, gdy $a = 0$.
$$10 – 2k = 0 \implies 2k = 10 \implies k = 5$$
Odpowiedź: Dla $k = 5$.
4. **Zadanie 4:**
Wzór ogólny: $y = ax + b$. Tworzymy układ równań podstawiając współrzędne punktów:
$$\begin{cases} 2 = a \cdot 1 + b \\ 8 = a \cdot 3 + b \end{cases}$$
Z pierwszego równania: $b = 2 – a$. Podstawiamy do drugiego:
$$8 = 3a + 2 – a \implies 6 = 2a \implies a = 3$$
Wtedy: $b = 2 – 3 = -1$.
Wzór funkcji: $f(x) = 3x – 1$.
Miejsce zerowe: $3x – 1 = 0 \implies x_0 = \frac{1}{3}$.

—

## 6. Najczęstsze błędy

* **Błąd przy dzieleniu przez liczbę ujemną w nierównościach:**
Rozwiązując nierówność np. $-3x > 6$, uczniowie zapominają o zmianie zwrotu znaku nierówności. Pamiętaj: dzieląc lub mnożąc nierówność przez liczbę ujemną, **zawsze odwracaj znak**! Poprawny wynik to $x < -2$. * **Mylenie współrzędnych punktu przecięcia z osią $OY$:** Częstym błędem jest zapisywanie tego punktu jako $(b, 0)$ zamiast poprawnego $(0, b)$. Pamiętaj, że na osi $OY$ pierwsza współrzędna (argument $x$) zawsze wynosi $0$. * **Niewłaściwe utożsamianie "miejsca zerowego" z punktem:** Miejsce zerowe to **liczba** (argument $x$), czyli np. $x_0 = 2$. Nie jest to punkt o współrzędnych $(2,0)$ – punkt ten nazywamy *punktem przecięcia wykresu z osią OX*. --- ## 7. Szybka powtórka * **Wzór ogólny:** $f(x) = ax + b$ * **Kierunek wykresu (monotoniczność):** * $a > 0 \implies$ funkcja rośnie ($\nearrow$)
* $a < 0 \implies$ funkcja maleje ($\searrow$) * $a = 0 \implies$ funkcja jest stała ($\rightarrow$) * **Przecięcie z osią $OY$:** Zawsze w punkcie $(0, b)$. * **Miejsce zerowe:** $x_0 = -\frac{b}{a}$ (o ile $a \neq 0$). Jest to miejsce, gdzie wykres przecina oś $OX$.

{}