Zastosowanie funkcji do rozwiązywania zadań z treścią

# Temat: Zastosowanie funkcji do rozwiązywania zadań z treścią

**Fraza kluczowa:** zadania z treścią funkcje
**Poziom:** Liceum, Klasa 1
**Dział:** Funkcje

—

## 1. Najważniejsze informacje i teoria

W życiu codziennym wiele wielkości jest od siebie zależnych – koszt przejazdu taksówką zależy od przebytej drogi, pole prostokąta zależy od długości jego boków, a zysk firmy zależy od liczby sprzedanych produktów. Do opisu takich zależności używamy **funkcji**.

Modelowanie matematyczne za pomocą funkcji polega na przełożeniu opisanego słownie problemu na język matematyki.

### Schemat rozwiązywania zadań z treścią za pomocą funkcji:
1. **Analiza treści zadania:** Uważnie przeczytaj tekst i zidentyfikuj wielkości zmienne oraz stałe.
2. **Wybór zmiennej niezależnej ($x$):** Oznacz niewiadomą, od której zależą inne wartości.
3. **Określenie dziedziny funkcji ($D$):** Zapisz ograniczenia wynikające z kontekstu zadania (np. długość boku musi być dodatnia $x > 0$, liczba osób musi być liczbą naturalną $x \in \mathbb{N}$).
4. **Zbudowanie wzoru funkcji $f(x)$:** Zapisz zależność opisaną w treści zadania za pomocą wzoru matematycznego.
5. **Rozwiązanie problemu matematycznego:** Wyznacz szukaną wartość, argument, zero funkcji lub wartość najmniejszą/największą (optymalizacja).
6. **Interpretacja wyniku i odpowiedź:** Sprawdź, czy otrzymany wynik należy do dziedziny i sformułuj odpowiedź słowną z odpowiednimi jednostkami.

—

## 2. Wzory i zasady

### Model liniowy: $f(x) = ax + b$
Stosowany, gdy zmiana wartości funkcji jest stała w stosunku do zmiany argumentu (np. opłata stała + opłata za każdy kilometr/godzinę).
* $b$ – wartość początkowa (np. opłata startowa, stały koszt).
* $a$ – współczynnik kierunkowy (tempo zmiany, np. cena za $1\text{ km}$, koszt za $1\text{ h}$).

### Model kwadratowy: $f(x) = ax^2 + bx + c$
Stosowany często w zadaniach optymalizacyjnych (np. wyznaczanie maksymalnego pola powierzchni, maksymalnego zysku).
* Jeżeli $a < 0$, funkcja osiąga **wartość największą** w wierzchołku paraboli. * Jeżeli $a > 0$, funkcja osiąga **wartość najmniejszą** w wierzchołku paraboli.
* Współrzędne wierzchołka paraboli $W = (p, q)$:
$$p = -\frac{b}{2a} \quad \text{(argument, dla którego osiągana jest wartość skrajna)}$$
$$q = -\frac{\Delta}{4a} \quad \text{lub} \quad q = f(p) \quad \text{(wartość najmniejsza lub największa)}$$
gdzie $\Delta = b^2 – 4ac$.

—

## 3. Przykłady rozwiązane krok po kroku

### Przykład 1: Model liniowy (koszt usługi)
Firma kurierska pobiera stałą opłatę za nadanie paczki w wysokości $12\text{ zł}$ oraz $2,50\text{ zł}$ za każdy kilogram jej wagi.
a) Zapisz wzór funkcji $K(x)$ określającej koszt dostarczenia paczki w zależności od jej wagi $x$ (w kg).
b) Oblicz koszt wysłania paczki o wadze $6\text{ kg}$.
c) Jaka była waga paczki, jeśli opłata wyniosła $37\text{ zł}$?

**Rozwiązanie:**

* **Krok 1 i 2:** Oznaczenie zmiennych.
Niech $x$ oznacza wagę paczki w kilogramach, a $K(x)$ – całkowity koszt w złotych.

* **Krok 3:** Dziedzina funkcji.
Waga paczki musi być liczbą dodatnią: $D = (0, +\infty)$.

* **Krok 4:** Zbudowanie wzoru.
Opłata stała wynosi $12$, a opłata zmienna to $2,5 \cdot x$.
$$K(x) = 2,5x + 12$$

* **Krok 5a (Odp. do podpunktu a):**
Wzór funkcji to $K(x) = 2,5x + 12$ dla $x \in (0, +\infty)$.

* **Krok 5b:** Obliczenie $K(6)$.
$$K(6) = 2,5 \cdot 6 + 12 = 15 + 12 = 27$$
*Odpowiedź b:* Koszt wysłania paczki o wadze $6\text{ kg}$ wynosi $27\text{ zł}$.

* **Krok 5c:** Rozwiązanie równania $K(x) = 37$.
$$2,5x + 12 = 37$$
$$2,5x = 37 – 12$$
$$2,5x = 25 \quad / : 2,5$$
$$x = 10$$
Liczba $10 \in D$.
*Odpowiedź c:* Paczka ważyła $10\text{ kg}$.

—

### Przykład 2: Model kwadratowy – optymalizacja pola
Pan Jan chce ogrodzić prostokątny wybieg dla psa. Przylega on jednym bokiem do ściany domu, więc ogrodzenie będzie zamontowane tylko na trzech pozostałych bokach. Pan Jan dysponuje siatką o długości $20\text{ m}$. Jakie wymiary powinien mieć wybieg, aby jego powierzchnia była jak największa? Oblicz tę maksymalną powierzchnię.

**Rozwiązanie:**

* **Krok 1 i 2:** Oznaczenie zmiennych i szkic.
Niech $x$ oznacza długość boków prostopadłych do ściany domu (są dwa takie boki).
Długość boku równoległego do ściany wynosi wówczas: $20 – 2x$.

* **Krok 3:** Dziedzina funkcji.
Długości boków muszą być dodatnie:
$x > 0$ oraz $20 – 2x > 0 \implies 2x < 20 \implies x < 10$. Zatem dziedzina to $D = (0, 10)$. * **Krok 4:** Zbudowanie wzoru funkcji pola $P(x)$. Pole prostokąta to iloczyn jego boków: $$P(x) = x \cdot (20 - 2x) = -2x^2 + 20x$$ * **Krok 5:** Analiza funkcji kwadratowej. Otrzymaliśmy funkcję kwadratową $P(x) = -2x^2 + 20x$, gdzie $a = -2$, $b = 20$, $c = 0$. Ponieważ $a = -2 < 0$, ramiona paraboli skierowane są w dół, a funkcja osiąga **wartość największą w wierzchołku**. Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka $p$: $$p = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-2)} = -\frac{20}{-4} = 5$$ Sprawdzamy, czy $p \in D$: $5 \in (0, 10)$ – wynik jest poprawny. Dla $x = 5\text{ m}$ drugi bok ma długość: $$20 - 2 \cdot 5 = 10\text{ m}$$ Wyznaczamy maksymalne pole (druga współrzędna wierzchołka $q$ lub wartość $P(p)$): $$P(5) = -2 \cdot 5^2 + 20 \cdot 5 = -2 \cdot 25 + 100 = -50 + 100 = 50\text{ m}^2$$ * **Krok 6:** Odpowiedź. Wybieg powinien mieć wymiary $5\text{ m} \times 10\text{ m}$. Jego maksymalna powierzchnia wyniesie wtedy $50\text{ m}^2$. --- ## 4. Zadania do samodzielnego rozwiązania ### Zadanie 1 (Model liniowy) Abonament telefoniczny kosztuje $20\text{ zł}$ miesięcznie. W cenie abonamentu nie ma darmowych minut. Każda rozpoczęta minuta połączenia kosztuje $0,15\text{ zł}$. a) Zapisz wzór funkcji $C(x)$ opisującej miesięczny rachunek za telefon w zależności od liczby przebytych minut $x$. b) Oblicz rachunek za miesiąc, w którym rozmawiano przez $140\text{ minut}$. c) Ile minut przeprowadzono, jeśli rachunek wyniósł $56\text{ zł}$? ### Zadanie 2 (Porównywanie ofert) Siłownia *FitFast* oferuje karnet w cenie $80\text{ zł}$ opłaty stałej plus $5\text{ zł}$ za każde wejście. Siłownia *PowerGym* nie pobiera opłaty stałej, ale każde wejście kosztuje $15\text{ zł}$. a) Zapisz wzory funkcji opisujących koszt korzystania z obu siłowni w zależności od liczby wejść $n$ w miesiącu. b) Przy jakiej liczbie wejść w miesiącu koszty w obu siłowniach będą identyczne? c) Którą siłownię opłaca się wybrać, jeśli planujesz trenować $10$ razy w miesiącu? ### Zadanie 3 (Model kwadratowy – optymalizacja) Suma dwóch liczb rzeczywistych wynosi $16$. Wyznacz te liczby tak, aby ich iloczyn był jak największy. Oblicz wartość tego największego iloczynu. ### Zadanie 4 (Model kwadratowy – geometria) Ogrodnik chce utworzyć prostokątną rabatę kwiatową o obwodzie $36\text{ m}$. Wyznacz wymiary tej rabaty, dla których jej powierzchnia będzie największa. --- ## 5. Odpowiedzi do zadań ### Zadanie 1 a) $C(x) = 0,15x + 20$, dla $x \in \mathbb{N} \cup \{0\}$. b) $C(140) = 0,15 \cdot 140 + 20 = 21 + 20 = 41\text{ zł}$. c) $0,15x + 20 = 56 \implies 0,15x = 36 \implies x = 240\text{ minut}$. ### Zadanie 2 a) FitFast: $F(n) = 5n + 80$; PowerGym: $P(n) = 15n$, gdzie $n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$. b) Przyrównujemy funkcje: $5n + 80 = 15n \implies 10n = 80 \implies n = 8$. Koszty będą równe przy $8$ wejściach. c) Dla $n = 10$: $F(10) = 5 \cdot 10 + 80 = 130\text{ zł}$, a $P(10) = 15 \cdot 10 = 150\text{ zł}$. Bardziej opłaca się wybrać siłownię *FitFast*. ### Zadanie 3 Niech pierwsza liczba to $x$. Wtedy druga liczba wynosi $16 - x$. Funkcja iloczynu: $f(x) = x(16 - x) = -x^2 + 16x$. Jest to funkcja kwadratowa ($a = -1$, $b = 16$). Osiąga maksimum w wierzchołku: $p = -\frac{16}{2 \cdot (-1)} = 8$. Pierwsza liczba: $8$, druga liczba: $16 - 8 = 8$. Maksymalny iloczyn wynosi: $f(8) = 8 \cdot 8 = 64$. ### Zadanie 4 Obwód $2a + 2b = 36 \implies a + b = 18 \implies b = 18 - a$. Dziedzina: $a \in (0, 18)$. Funkcja pola: $P(a) = a(18 - a) = -a^2 + 18a$. Wierzchołek paraboli: $p = -\frac{18}{2 \cdot (-1)} = 9$. Boki rabaty to $a = 9\text{ m}$ oraz $b = 18 - 9 = 9\text{ m}$ (rabata w kształcie kwadratu). --- ## 6. Najczęstsze błędy 1. **Pomięcie dziedziny zadania ($D$):** *Błąd:* Otrzymanie wyniku ujemnego (np. długość boku $x = -3$) i bezrefleksyjne podanie go w odpowiedzi. *Pamiętaj:* Zawsze określ warunki geometryczne lub fizyczne ($x > 0$, $x \in \mathbb{N}$ itp.).

2. **Mylenie argumentu ($x$) z wartością funkcji ($f(x)$):**
*Błąd:* Odpowiadanie wartością $p$ (długość boku) na pytanie o maksymalne pole ($q$) lub odwrotnie.
*Pamiętaj:* $p$ to odpowiedź na pytanie „**DLA JAKIEGO** argumentu?”, a $q$ to odpowiedź na pytanie „**ILE WYNOSI** wartość największa/najmniejsza?”.

3. **Niewłaściwy wzór na wymiary zależące od obwodu/długości:**
*Błąd:* Zapominanie, że przy ogrodzeniu wykorzystującym istniejącą ścianę, jeden z boków nie potrzebuje siatki.

4. **Brak odpowiedzi słownej:**
*Błąd:* Zakończenie zadania na wyznaczeniu $x = 5$.
*Pamiętaj:* Zadanie z treścią wymaga pełnej odpowiedzi z podaniem jednostek (np. „Maksymalna powierzchnia wynosi $50\text{ m}^2$”).

—

## 7. Szybka powtórka

* **Modelowanie:** Przełóż słowa na wzór! Stała opłata = wyraz wolny $b$, stałe tempo zmiany = współczynnik $a$.
* **Pole/Iloczyn $\to$ Funkcja kwadratowa:** Zadania o treści „wyznacz najmniejszy/największy” z reguły sprowadzają się do znalezienia **wierzchołka paraboli** ($p, q$).
* **Wzór na $p$:**
$$p = -\frac{b}{2a}$$
Gdy $a < 0$, w punkcie $p$ funkcja ma wartość **największą**. * **3 Złote Zasady:** 1. Zdefiniuj zmienną $x$. 2. Wyznacz dziedzinę. 3. Zawsze sprawdź, czy wynik ma sens fizyczny/życiowy!