Pojęcie funkcji i sposoby jej przedstawiania

# Lekcja: Pojęcie funkcji i sposoby jej przedstawiania

—

## 1. Najważniejsze informacje i teoria

**Pojęcie funkcji** to jedno z najważniejszych zagadnień w całej matematyce.

> **Definicja funkcji:**
> **Funkcją** ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywamy takie przyporządkowanie, które **każdemu** elementowi ze zbioru $X$ przyporządkowuje **dokładnie jeden** element ze zbioru $Y$.

### Podstawowe pojęcia:
* **Dziedzina funkcji ($D$ lub $D_f$):** Zbiór $X$, z którego bierzesz argumenty (zbiór wszystkich „iksów”, dla których funkcja ma sens).
* **Przeciwdziedzina:** Zbiór $Y$, w którym funkcja przyjmuje swoje wartości.
* **Zbiór wartości funkcji ($ZW$ lub $ZW_f$):** Zbiór wszystkich elementów z $Y$, które zostały rzeczywiście przyporządkowane argumentom ze zbioru $X$.
* **Argument:** Element dziedziny (zazwyczaj oznaczany jako $x$).
* **Wartość funkcji:** Element zbioru wartości przypisany danemu argumentowi (zazwyczaj oznaczany jako $y$ lub $f(x)$).

—

## 2. Wzory i zasady

### Zapis matematyczny:
* $f: X \to Y$ (czytamy: *funkcja $f$ odwzorowuje zbiór $X$ w zbiór $Y$*)
* $y = f(x)$ (czytamy: *$y$ równa się $f$ od $x$*)

### Sposoby przedstawiania funkcji:
1. **Opis słowny:** np. *”Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy jej kwadrat powiększony o 1.”*
2. **Wzór (zapis algebraiczny):** np. $f(x) = x^2 + 1$ dla $x \in \mathbb{R}$
3. **Tabela:** Zestawienie argumentów ($x$) i odpowiadających im wartości ($y$).
4. **Graf (diagram):** Przedstawienie przyporządkowania za pomocą zbiorów i strzałek.
5. **Wykres:** Zbiór punktów $(x, y)$ w układzie współrzędnych.
6. **Zbiór par uporządkowanych:** np. $f = \{(1, 2), (2, 5), (3, 10)\}$

### Test prostej pionowej (dla wykresów):
Rysunek w układzie współrzędnych **jest wykresem funkcji**, jeśli każda prosta pionowa (równoległa do osi $OY$) przecina ten wykres **co najwyżej w jednym punkcie**.

—

## 3. Przykłady rozwiązane krok po kroku

### Przykład 1: Czy to jest funkcja? (Grafy i zbioru par)
Sprawdź, czy poniższe relacje są funkcjami:
a) $A = \{(1, 3), (2, 3), (3, 4)\}$
b) $B = \{(1, 2), (1, 5), (3, 7)\}$

**Rozwiązanie:**
* **a)** Bbadamy argumenty ($x$): dla $x=1$ mamy $y=3$, dla $x=2$ mamy $y=3$, dla $x=3$ mamy $y=4$.
Każdemu $x$ przypisano **dokładnie jeden** $y$ (wartości mogą się powtarzać, np. dla $1$ i $2$ jest ta sama wartość $3$).
**Odp:** Tak, zbiór $A$ opisuje funkcję.
* **b)** Dla argumentu $x=1$ przyporządkowano dwie różne wartości: $y=2$ oraz $y=5$. Narusza to definicję funkcji („dokładnie jeden element”).
**Odp:** Nie, zbiór $B$ nie jest funkcją.

—

### Przykład 2: Obliczanie wartości funkcji ze wzoru
Dana jest funkcja $f(x) = 3x^2 – 2x + 4$. Oblicz wartości: $f(2)$, $f(-1)$ oraz $f(0)$.

**Rozwiązanie:**
Podstawiamy odpowiednie liczby w miejsce każdego $x$ we wzorze.

1. **Dla $x = 2$:**
$$f(2) = 3 \cdot (2)^2 – 2 \cdot (2) + 4 = 3 \cdot 4 – 4 + 4 = 12 – 4 + 4 = 12$$

2. **Dla $x = -1$:**
$$f(-1) = 3 \cdot (-1)^2 – 2 \cdot (-1) + 4 = 3 \cdot 1 + 2 + 4 = 3 + 2 + 4 = 9$$

3. **Dla $x = 0$:**
$$f(0) = 3 \cdot (0)^2 – 2 \cdot (0) + 4 = 0 – 0 + 4 = 4$$

—

### Przykład 3: Wyznaczanie dziedziny ze wzoru
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x) = \frac{x + 5}{x – 3}$.

**Rozwiązanie:**
1. Pamiętamy podstawową zasadę matematyczną: **nie wolno dzielić przez zero**.
2. Mianownik ułamka musi być różny od zera:
$$x – 3 \neq 0 \implies x \neq 3$$
3. Zapisujemy dziedzinę:
$$D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$$
(Dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby 3).

—

## 4. Zadania do samodzielnego rozwiązania

### Zadanie 1.
Określ, które z poniższych zbiorów par uporządkowanych przedstawiają funkcję:
* a) $K = \{(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)\}$
* b) $L = \{(-2, 1), (-1, 1), (0, 1), (1, 1)\}$
* c) $M = \{(4, 2), (4, -2), (9, 3), (9, -3)\}$

### Zadanie 2.
Dana jest funkcja opisana wzorem $f(x) = -2x + 5$ określona na zbiorze $D = \{-2, 0, 1, 3\}$.
* a) Oblicz wartości funkcji dla wszystkich argumentów z dziedziny.
* b) Przedstaw tę funkcję za pomocą tabeli.
* c) Podaj zbiór wartości tej funkcji ($ZW$).

### Zadanie 3.
Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji $f(x) = \frac{2x}{2x – 8}$.

### Zadanie 4.
Funkcja przyporządkowuje każdej liczbie całkowitej ze zbioru $X = \{-1, 0, 1, 2\}$ wartość o 3 większą od jej podwojonej wartości. Zapisz wzór tej funkcji oraz znajdź jej zbiór wartości.

—

## 5. Odpowiedzi do zadań

* **Zadanie 1:**
* a) **Tak**, to jest funkcja.
* b) **Tak**, to jest funkcja (funkcja stała).
* c) **Nie**, to nie jest funkcja (np. dla $x=4$ mamy dwa różne $y$: $2$ oraz $-2$).

* **Zadanie 2:**
* a) $f(-2) = -2 \cdot (-2) + 5 = 9$, $f(0) = 5$, $f(1) = 3$, $f(3) = -1$
* b) Tabela:
| $x$ | $-2$ | $0$ | $1$ | $3$ |
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |
| $f(x)$ | $9$ | $5$ | $3$ | $-1$ |
* c) Zbiór wartości $ZW = \{-1, 3, 5, 9\}$

* **Zadanie 3:**
* Mianownik nie może być zerem: $2x – 8 \neq 0 \implies 2x \neq 8 \implies x \neq 4$.
* Odpowiedź: $D = \mathbb{R} \setminus \{4\}$

* **Zadanie 4:**
* Wzór: $f(x) = 2x + 3$
* Obliczenia wartości: $f(-1) = 1$, $f(0) = 3$, $f(1) = 5$, $f(2) = 7$
* Zbiór wartości: $ZW = \{1, 3, 5, 7\}$

—

## 6. Najczęstsze błędy

1. **Mylenie pojęcia funkcji z równaniem:** Nie każde przyporządkowanie jest funkcją – kluczowe jest słowo **dokładnie jeden** element przypisany do danego $x$.
2. **Dwa $y$ dla jednego $x$:** Częsty błąd przy interpretacji graficznej – np. okrąg w układzie współrzędnych **nie jest** wykresem funkcji, ponieważ dla jednego $x$ istnieją dwa punkty na okręgu.
3. **Błędy przy znakach przy podstawianiu liczb ujemnych:**
Pamiętaj o nawiasach! Zapis $-2^2 = -4$, ale $(-2)^2 = 4$. Przy obliczaniu wartości $f(-2)$ dla $f(x)=x^2$ poprawny zapis to $(-2)^2 = 4$.
4. **Mylenie argumentów z wartościami:**
* Argument to $x$ (oś pozioma $OX$).
* Wartość to $y$ lub $f(x)$ (oś pionowa $OY$).

—

## 7. Szybka powtórka

* **Pojęcie funkcji:** DLA KAŻDEGO $x$ istnieje DOKŁADNIE JEDEN $y$.
* **Argument ($x$):** Element z dziedziny.
* **Wartość ($y$ lub $f(x)$):** Wynik przyporządkowany dla danego $x$.
* **Dziedzina ($D$):** Zbiór wszystkich argumentów (pamiętaj: $D \neq 0$ w mianowniku!).
* **Sposoby zapisu:** Słowny, wzór, tabela, graf, wykres, pary liczb.
* **Wykres funkcji:** Prosta pionowa może go przeciąć **maksymalnie raz**.