Funkcja liniowa i jej własności

# Temat: Funkcja liniowa i jej własności

—

## 1. Najważniejsze informacje i teoria

**Funkcja liniowa** to jedna z podstawowych i najważniejszych funkcji w matematyce. Jej wykres na płaszczyźnie kartazjańskiej jest zawsze **prostą**.

### Definicja
Funkcją liniową nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$, którą można zapisać wzorem:
$$f(x) = ax + b$$ lub $$y = ax + b$$

gdzie $a$ oraz $b$ są stałymi liczbami rzeczywistymi, a $x$ jest zmienną niezależną.

### Znaczenie współczynników $a$ i $b$:
1. **Współczynnik kierunkowy $a$**:
* Decyduje o kącie nachylenia wykresu funkcji do osi $OX$.
* Określa **monotoniczność** funkcji.
2. **Wyraz wolny $b$**:
* Wskazuje punkt przecięcia wykresu z osią $OY$. Prosta przecina oś $OY$ w punkcie $(0, b)$.

—

## 2. Wzory i zasady

### Monotoniczność funkcji liniowej
Monotoniczność zależy wyłącznie od znaku współczynnika kierunkowego $a$:
* Jeżeli $a > 0$, funkcja jest **rosnąca**.
* Jeżeli $a < 0$, funkcja jest **malejąca**. * Jeżeli $a = 0$, funkcja jest **stała** ($f(x) = b$). ### Miejsce zerowe Miejsce zerowe to taki argument $x$, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ ($f(x) = 0$). * Dla $a \neq 0$ miejsce zerowe wyznaczamy ze wzoru: $$x_0 = -\frac{b}{a}$$ * Dla $a = 0$ i $b = 0$ funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych. * Dla $a = 0$ i $b \neq 0$ funkcja nie ma miejsc zerowych. ### Wzór na wyznaczenie $a$ mając dwa punkty $A(x_1, y_1)$ oraz $B(x_2, y_2)$: $$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \quad \text{dla } x_1 \neq x_2$$ ### Warunki równoległości i prostopadłości prostych Mamy dwie proste: $k: y = a_1 x + b_1$ oraz $l: y = a_2 x + b_2$. * **Warunek równoległości ($k \parallel l$):** $$a_1 = a_2$$ *(Proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe).* * **Warunek prostopadłości ($k \perp l$):** $$a_1 \cdot a_2 = -1 \quad \implies \quad a_2 = -\frac{1}{a_1}$$ *(Proste są prostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe są liczbami przeciwnymi i odwrotnymi).* --- ## 3. Przykłady rozwiązane krok po kroku ### Przykład 1: Badanie własności funkcji liniowej Dana jest funkcja liniowa $f(x) = -2x + 6$. a) Wyznacz miejsce zerowe funkcji. b) Określ punkt przecięcia z osią $OY$. c) Określ monotoniczność funkcji. **Rozwiązanie:** * **Krok a)** Wyznaczamy miejsce zerowe, przyrównując $f(x)$ do $0$: $$-2x + 6 = 0$$ $$-2x = -6 \quad / : (-2)$$ $$x = 3$$ *Odpowiedź:* Miejscem zerowym jest $x = 3$ (punkt $(3,0)$). * **Krok b)** Punkt przecięcia z oś $OY$ to $(0, b)$. Odczytujemy $b = 6$: *Odpowiedź:* Prosta przecina oś $OY$ w punkcie $(0, 6)$. * **Krok c)** Odczytujemy współczynnik $a = -2$. Ponieważ $a < 0$: *Odpowiedź:* Funkcja jest malejąca. --- ### Przykład 2: Wyznaczanie wzoru funkcji przechodzącej przez dwa punkty Wyznacz wzór funkcji liniowej $f(x) = ax + b$, której wykres przechodzi przez punkty $A(2, 5)$ oraz $B(-1, -1)$. **Rozwiązanie:** * **Krok 1:** Podstawiamy współrzędne punktów $A(x=2, y=5)$ i $B(x=-1, y=-1)$ do wzoru ogólnego $y = ax + b$, tworząc układ równań: $$\begin{cases} 5 = 2a + b \\ -1 = -a + b \end{cases}$$ * **Krok 2:** Odejmujemy równania stronami, aby wyeliminować $b$: $$(5 - (-1)) = (2a - (-a)) + (b - b)$$ $$6 = 3a \quad / : 3$$ $$a = 2$$ * **Krok 3:** Podstawiamy $a = 2$ do jednego z równań, aby obliczyć $b$: $$5 = 2 \cdot 2 + b$$ $$5 = 4 + b$$ $$b = 1$$ * **Krok 4:** Zapisujemy wzór funkcji: *Odpowiedź:* Wzór funkcji to $f(x) = 2x + 1$. --- ### Przykład 3: Wyznaczanie prostej równoległej i prostopadłej Wyznacz wzór funkcji liniowej $g(x)$, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji $f(x) = 3x - 4$ i przechodzi przez punkt $P(6, 1)$. **Rozwiązanie:** * **Krok 1:** Określamy współczynnik kierunkowy prostej $f(x)$, czyli $a_1 = 3$. * **Krok 2:** Korzystamy z warunku prostopadłości $a_1 \cdot a_2 = -1$: $$3 \cdot a_2 = -1 \implies a_2 = -\frac{1}{3}$$ Zatem szukana funkcja ma postać $g(x) = -\frac{1}{3}x + b$. * **Krok 3:** Podstawiamy współrzędne punktu $P(x=6, y=1)$ do wzoru $g(x)$, aby obliczyć $b$: $$1 = -\frac{1}{3} \cdot 6 + b$$ $$1 = -2 + b$$ $$b = 3$$ * **Krok 4:** Zapisujemy ostateczny wzór: *Odpowiedź:* Wzór funkcji prostopadłej to $g(x) = -\frac{1}{3}x + 3$. --- ## 4. Zadania do samodzielnego rozwiązania **Zadanie 1.** Dla funkcji liniowej $f(x) = 4x - 8$: a) Wyznacz miejsce zerowe. b) Podaj punkt przecięcia wykresu z osią $OY$. c) Określ, czy funkcja jest rosnąca, malejąca czy stała. **Zadanie 2.** Napisz wzór funkcji liniowej $f$, która spełnia warunki: $f(1) = 3$ oraz $f(3) = 11$. **Zadanie 3.** Napisz wzór funkcji liniowej $g$, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji $f(x) = -2x + 5$ i przechodzi przez punkt $A(3, 1)$. **Zadanie 4.** Wyznacz wzór funkcji liniowej $h$, której wykres jest prostopadły do prostej o równaniu $y = \frac{1}{2}x + 2$ i przechodzi przez punkt $K(-2, 5)$. **Zadanie 5.** Dla jakiej wartości parametru $m$ funkcja liniowa $f(x) = (2m - 6)x + 4$ jest malejąca? --- ## 5. Odpowiedzi do zadań **Zadanie 1:** a) $x_0 = 2$ b) $(0, -8)$ c) Funkcja jest rosnąca (ponieważ $a = 4 > 0$).

**Zadanie 2:**
$f(x) = 4x – 1$

**Zadanie 3:**
$g(x) = -2x + 7$

**Zadanie 4:**
$h(x) = -2x + 1$

**Zadanie 5:**
Funkcja jest malejąca, gdy $a < 0$, czyli: $$2m - 6 < 0$$ $$2m < 6$$ $$m < 3$$ *Odpowiedź:* Funkcja jest malejąca dla $m \in (-\infty, 3)$. --- ## 6. Najczęstsze błędy 1. **Mylenie współrzędnych punktu:** Pamiętaj, że punkt to zawsze układ $(x, y)$. Częstym błędem jest podstawianie współrzędnej $y$ w miejsce $x$ we wzorze funkcji. 2. **Błędne stosowanie warunku prostopadłości:** Często uczniowie zapominają o zmianie znaku i biorą tylko odwrotność liczby (np. dla $a = 2$ biorą $a_2 = \frac{1}{2}$ zamiast $a_2 = -\frac{1}{2}$). 3. **Błędy w znakach przy wyznaczaniu miejsca zerowego:** Wzór to $x_0 = -\frac{b}{a}$. Przenosząc wyraz wolny na drugą stronę równania, należy zmienić jego znak na przeciwny. 4. **Mylenie pojęć "miejsce zerowe" i "punkt przecięcia z osią $OX$":** * Miejsce zerowe to liczba (np. $x = 3$). * Punkt przecięcia z osią $OX$ to współrzędne na płaszczyźnie (np. $(3, 0)$). --- ## 7. Szybka powtórka * **Wzór ogólny:** $f(x) = ax + b$ * **Monotoniczność:** * $a > 0 \implies$ rosnąca
* $a < 0 \implies$ malejąca * $a = 0 \implies$ stała * **Miejsce zerowe:** punkt, w którym $y = 0 \implies x_0 = -\frac{b}{a}$ * **Przecięcie z osią $OY$:** punkt $(0, b)$ * **Równoległość prostych:** $a_1 = a_2$ * **Prostopadłość prostych:** $a_1 \cdot a_2 = -1$