Wykres funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

# Wykres funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

—

## 1. Najważniejsze informacje i teoria

Funkcja kwadratowa jest jedną z najważniejszych funkcji badanych w szkole średniej. Jej wykresem jest parabola.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to specjalny sposób jej zapisu, z którego bez wykonywania skomplikowanych obliczeń możemy odczytać **współrzędne wierzchołka paraboli** oraz opisać przesunięcie wykresu podstawowego $y = ax^2$ w układzie współrzędnych.

Jeśli znamy wykres funkcji $y = ax^2$, to wykres funkcji w postaci kanonicznej powstaje poprzez przesunięcie go o wektor $\vec{v} = [p, q]$:
* o $p$ jednostek wzdłuż osi $OX$ (w prawo, gdy $p > 0$, lub w lewo, gdy $p < 0$), * o $q$ jednostek wzdłuż osi $OY$ (w górę, gdy $q > 0$, lub w dół, gdy $q < 0$). --- ## 2. Wzory i zasady ### Postać kanoniczna $$f(x) = a(x - p)^2 + q$$ gdzie $a \neq 0$. ### Własności odczytywane bezpośrednio z postaci kanonicznej: 1. **Wierzchołek paraboli $W$:** $$W = (p, q)$$ *Uwaga na znak przy $p$! We wzorze występuje $-p$, co oznacza, że liczba $p$ ma przeciwny znak niż ten, który widzimy w nawiasie.* 2. **Oś symetrii paraboli:** Jest to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek o równaniu: $$x = p$$ 3. **Kierunek ramion paraboli (zależy od współczynnika $a$):** * Jeśli $a > 0$ – ramiona skierowane są **w górę** $\bigcup$.
* Jeśli $a < 0$ – ramiona skierowane są **w dół** $\bigcap$. 4. **Zbiór wartości ($ZW$) i monotoniczność:** * Dla $a > 0$:
* $ZW = \langle q, +\infty)$
* Funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty, p\rangle$
* Funkcja jest rosnąca w przedziale $\langle p, +\infty)$
* Najmniejsza wartość funkcji wynosi $y_{min} = q$ dla $x = p$.
* Dla $a < 0$: * $ZW = (-\infty, q\rangle$ * Funkcja jest rosnąca w przedziale $(-\infty, p\rangle$ * Funkcja jest malejąca w przedziale $\langle p, +\infty)$ * Największa wartość funkcji wynosi $y_{max} = q$ dla $x = p$. --- ## 3. Przykłady rozwiązane krok po kroku ### Przykład 1 Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli, równanie osi symetrii oraz zbiór wartości dla funkcji podanej wzorem: $$f(x) = 2(x - 3)^2 - 4$$ **Rozwiązanie:** 1. Porównujemy wzór funkcji z postacią kanoniczną $f(x) = a(x - p)^2 + q$: * $a = 2$ * $p = 3$ (pamiętamy: $x - 3 \implies p = 3$) * $q = -4$ 2. Odczytujemy wierzchołek paraboli: $$W = (p, q) = (3, -4)$$ 3. Podajemy równanie osi symetrii: $$x = 3$$ 4. Wyznaczamy zbiór wartości: Ponieważ $a = 2 > 0$, ramiona paraboli skierowane są w górę, a najmniejsza wartość to $q = -4$.
$$ZW = \langle -4, +\infty)$$

—

### Przykład 2
Szkicujemy wykres funkcji $f(x) = -(x + 2)^2 + 1$. Opisz krok po kroku przekształcenia oraz własności funkcji.

**Rozwiązanie:**
1. Odczytujemy parametry z wzoru $f(x) = -(x – (-2))^2 + 1$:
* $a = -1$
* $p = -2$
* $q = 1$
2. Wierzchołek paraboli to $W = (-2, 1)$.
3. Przekształcenie wykresu: Wykres powstaje z przesunięcia wykresu funkcji $y = -x^2$ o wektor $\vec{v} = [-2, 1]$ (o 2 jednostki w lewo i 1 jednostkę w górę).
4. Wyznaczamy dodatkowe punkty, aby dokładniej narysować wykres:
* Dla $x = 0$ (miejsce przecięcia z osią $OY$): $f(0) = -(0 + 2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3 \implies (0, -3)$
* Z symetrii wykresu względem prostej $x = -2$, dla $x = -4$ wartość wynosi również $-3 \implies (-4, -3)$
5. Podajemy własności:
* Ramiona skierowane w dół ($a = -1 < 0$). * Funkcja jest rosnąca dla $x \in (-\infty, -2\rangle$ i malejąca dla $x \in \langle -2, +\infty)$. * $ZW = (-\infty, 1\rangle$. --- ### Przykład 3 Napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, wiedząc, że jej wierzchołkiem jest punkt $W = (1, -2)$, a wykres przechodzi przez punkt $A = (3, 6)$. **Rozwiązanie:** 1. Zapisujemy postać kanoniczną: $f(x) = a(x - p)^2 + q$. 2. Podstawiamy znane współrzędne wierzchołka $p = 1$ oraz $q = -2$: $$f(x) = a(x - 1)^2 - 2$$ 3. Aby odnaleźć współczynnik $a$, podstawiamy współrzędne punktu $A = (3, 6)$, czyli $x = 3$ oraz $f(x) = 6$: $$6 = a(3 - 1)^2 - 2$$ $$6 = a(2)^2 - 2$$ $$6 = 4a - 2$$ $$8 = 4a \implies a = 2$$ 4. Zapisujemy ostateczny wzór funkcji: $$f(x) = 2(x - 1)^2 - 2$$ --- ## 4. Zadania do samodzielnego rozwiązania **Zadanie 1.** Dla podanych funkcji kwadratowych określ współrzędne wierzchołka paraboli $W$, równanie osi symetrii oraz zbiór wartości: a) $f(x) = (x - 5)^2 + 2$ b) $f(x) = -3(x + 1)^2 - 7$ c) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3$ **Zadanie 2.** Wykres funkcji $y = 2x^2$ przesunięto o wektor $\vec{v} = [-3, 4]$. Napisz wzór nowo powstałej funkcji w postaci kanonicznej oraz określ przedziały monotoniczności. **Zadanie 3.** Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, wiedząc, że osią symetrii jej wykresu jest prosta $x = -2$, wartość największa funkcji wynosi $5$, a do wykresu należy punkt $P = (0, -3)$. --- ## 5. Odpowiedzi do zadań **Zadanie 1.** a) $W = (5, 2)$, oś symetrii: $x = 5$, $ZW = \langle 2, +\infty)$ b) $W = (-1, -7)$, oś symetrii: $x = -1$, $ZW = (-\infty, -7\rangle$ c) $W = (0, -3)$, oś symetrii: $x = 0$, $ZW = \langle -3, +\infty)$ (uwaga: $p = 0$) **Zadanie 2.** * Wzór: $f(x) = 2(x + 3)^2 + 4$ * $a = 2 > 0$, $p = -3$
* Funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty, -3\rangle$ i rosnąca w przedziale $\langle -3, +\infty)$.

**Zadanie 3.**
* Z treści zadania znamy wierzchołek: $p = -2$, a ponieważ wartość największa to $5$, to $q = 5$. Zatem $W = (-2, 5)$.
* Postać kanoniczna: $f(x) = a(x + 2)^2 + 5$.
* Podstawiamy punkt $P = (0, -3)$:
$$-3 = a(0 + 2)^2 + 5$$
$$-3 = 4a + 5 \implies -8 = 4a \implies a = -2$$
* Ostateczny wzór: $f(x) = -2(x + 2)^2 + 5$.

—

## 6. Najczęstsze błędy

1. **Błędne odczytanie znaku pierwszej współrzędnej wierzchołka ($p$):**
* Pamiętaj! Dla $f(x) = (x + 4)^2 + 1$ mamy $p = -4$, a nie $p = 4$. Znak w nawiasie ulega zmianie na przeciwny!
2. **Mylenie współrzędnych przy określaniu przedziałów monotoniczności:**
* Monotoniczność wyznaczamy zawsze na podstawie argumentów, czyli osi $OX$ (używamy liczby $p$).
* Zbiór wartości określamy na podstawie osi $OY$ (używamy liczby $q$).
3. **Zapominanie o kwadracie:**
* Częstym błędem rachunkowym przy podstawianiu punktów do wzoru jest zapominanie o podniesieniu nawiasu do kwadratu, np. pisanie $a(3 – 1)$ zamiast $a(3 – 1)^2$.

—

## 7. Szybka powtórka

* **Postać kanoniczna:** $f(x) = a(x – p)^2 + q$
* **Wierzchołek:** $W = (p, q)$
* **Wektor przesunięcia z $y = ax^2$:** $\vec{v} = [p, q]$
* **Oś symetrii:** $x = p$
* **Gdy $a > 0$:** ramiona $\bigcup$, minimum $y = q$, $ZW = \langle q, +\infty)$
* **Gdy $a < 0$:** ramiona $\bigcap$, maksimum $y = q$, $ZW = (-\infty, q\rangle$